A Equação Canônica da Função do Segundo Grau: Conceitos, Exemplos e Exercícios

A equação do segundo grau é uma das ferramentas mais importantes em matemática, especialmente em álgebra. Neste artigo, exploraremos a equação canônica da função do segundo grau, que nos permite entender melhor a posição e a forma da parábola associada a essa função.

O que é a Equação Canônica?

A equação canônica de uma função do segundo grau, também conhecida como equação na forma de vértice, é dada por:

Aqui:

• a determina a concavidade da parábola. Se ( a > 0 ), a parábola é côncava para cima; se ( a < 0 ), é côncava para baixo.
• (x_v, y_v) são as coordenadas do vértice da parábola, o ponto onde ela atinge seu valor máximo ou mínimo.

A forma canônica é útil porque nos dá uma visão direta da localização do vértice da parábola, o que facilita a análise gráfica.

Passos para Encontrar a Equação Canônica

Dada uma função do segundo grau na forma geral y = ax² + bx + c, siga estes passos para convertê-la na forma canônica:

1. Calcule ( x_v ), a coordenada x do vértice:

1. Calcule ( y_v ), substituindo ( x_v ) na equação original:

1. Escreva a equação na forma canônica usando a, x_v e y_v.

Exemplo 1: Convertendo para a Forma Canônica

Considere a função quadrática:
y = 2x₂ – 8x + 6

Passo 1: Calcule ( x_v )

Passo 2: Calcule ( y_v )

Passo 3: Escreva a equação na forma canônica

A equação canônica é y = 2(x – 2)² – 2, indicando que a parábola tem seu vértice em (2, -2) e é côncava para cima.

Exemplo 2: Interpretação Gráfica

Para a função:

Passo 1: Calcule ( x_v )

Passo 2: Calcule ( y_v )

Passo 3: Escreva a equação na forma canônica

y = -3(x + 2)² – 43

Essa parábola tem o vértice em (-2, -43) e é côncava para baixo.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1:

Dada a função y = 4x² – 16x + 7, encontre a equação na forma canônica.

Solução:

1. Calcule x_v:

1. Substitua em y_v:

1. Escreva a equação:
3. y = 4(x – 2)² – 9

Exercício 2:

Encontre o vértice e a concavidade da função y = -5x² + 20x – 15.

Solução:

1. Calcule x_v:

1. Calcule ( y_v ):

1. Escreva a equação:
3. y = -5(x + 2)² + 5

A parábola é côncava para baixo, com vértice em (-2, 5).

Conclusão

A forma canônica da função do segundo grau é uma ferramenta poderosa para analisar as características da parábola, como seu vértice e concavidade. Com a prática, você conseguirá facilmente converter funções quadráticas e interpretar seus gráficos. Utilize os exemplos e exercícios resolvidos para aprofundar sua compreensão e domínio do tema.