Arcos, Setores e Segmentos Circulares

Nesta página você encontra as definições e fórmulas de arco, setor e segmento de um círculo, com exemplos resolvidos passo a passo e exercícios.

Para a base teórica, veja também: Circunferência e Círculo, Comprimento da Circunferência, Área do Círculo, Área do Setor Circular, Segmento Circular e Coroa Circular.

1) Arcos de circunferência

Círculo com arco e ângulo central — Arco subtendido por um ângulo central \(\alpha\) (graus) ou \(\theta\) (radianos).

Definição. O arco é a parte da circunferência compreendida entre dois pontos. Se o arco é determinado por um ângulo central, vale:

\[ \textbf{Comprimento do arco (graus):}\quad \boxed{L=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r} \]

\[ \textbf{Comprimento do arco (radianos):}\quad \boxed{L=r\,\theta} \]

Exemplo resolvido — Arco

Num círculo de raio \(r=12\,\text{cm}\), um ângulo central de \(\alpha=45^\circ\) determina um arco. Calcule \(L\).

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\[ \begin{aligned} L&=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r\\ &=\frac{45^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12\\ &=\frac{1}{8}\cdot 24\pi\\ &=\boxed{3\pi\ \text{cm}} \end{aligned} \]

2) Setor circular

Setor circular com ângulo central — Setor: região do círculo delimitada por dois raios e um arco.

Definição. O setor é a “fatia” do círculo limitada por dois raios e o arco entre eles.

\[ \textbf{Área do setor (graus):}\quad \boxed{A_{\text{set}}=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\,\pi r^2} \]

\[ \textbf{Área do setor (radianos):}\quad \boxed{A_{\text{set}}=\tfrac{\theta}{2}\,r^2} \]

Exemplo resolvido — Setor

Um velocímetro possui um setor de \(\alpha=72^\circ\) e \(r=10\,\text{cm}\). Calcule o comprimento do arco e a área do setor.

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\[ \begin{aligned} L&=\frac{72^\circ}{360^\circ}\,2\pi\cdot 10\\ &=\frac{1}{5}\cdot 20\pi\\ &=\boxed{4\pi\ \text{cm}}\\[6pt] A_{\text{set}}&=\frac{72^\circ}{360^\circ}\,\pi\cdot 10^2\\ &=\frac{1}{5}\cdot 100\pi\\ &=\boxed{20\pi\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

3) Segmento circular

Segmento circular entre corda e arco — Segmento: região entre uma corda e o arco correspondente.

Definição. O segmento circular é a área limitada por uma corda e pelo arco que ela subtende.

\[ \textbf{Área do segmento (radianos):}\quad \boxed{A_{\text{seg}}=\tfrac{r^2}{2}\,(\theta-\sin\theta)} \]

\[ \textbf{Relações úteis:}\quad c=2r\sin\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right),\quad h=r\!\left(1-\cos\!\tfrac{\alpha}{2}\right) \]

\[ \textbf{Pela flecha }(h)\text{ (sem ângulo):}\quad \boxed{A_{\text{seg}}=r^2\arccos\!\left(\tfrac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{\,2rh-h^2\,}} \]

Exemplo resolvido — Segmento

Em um círculo de raio \(r=12\,\text{cm}\), um segmento é definido por \(\theta=1{,}2\,\text{rad}\). Calcule \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} A_{\text{seg}}&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\\ &=\frac{12^2}{2}\,\bigl(1{,}2-\sin 1{,}2\bigr)\\ &=72\,\bigl(1{,}2-0{,}932039\bigr)\\ &=72\cdot 0{,}267961\\ &=\boxed{19{,}30\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Exercícios resolvidos

(E1) Arco em radianos

Num círculo de \(r=9\,\text{cm}\), um ângulo central \(\theta=1{,}4\,\text{rad}\) determina um arco. Calcule o seu comprimento.

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\[ \begin{aligned} L&=r\theta\\ &=9\cdot 1{,}4\\ &=\boxed{12{,}6\ \text{cm}} \end{aligned} \]

(E2) Setor em graus

Em um círculo de \(r=8\,\text{cm}\), o setor possui \(\alpha=135^\circ\). Determine \(L\) e \(A_{\text{set}}\).

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\[ \begin{aligned} L&=\frac{135^\circ}{360^\circ}\,2\pi\cdot 8\\ &=\frac{3}{8}\cdot 16\pi\\ &=\boxed{6\pi\ \text{cm}}\\[6pt] A_{\text{set}}&=\frac{135^\circ}{360^\circ}\,\pi\cdot 8^2\\ &=\frac{3}{8}\cdot 64\pi\\ &=\boxed{24\pi\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

(E3) Segmento pela flecha

Um arco em um círculo de raio \(r=20\,\text{cm}\) tem flecha \(h=3\,\text{cm}\). Encontre \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} A_{\text{seg}}&=r^2\arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2rh-h^2}\\ &=400\arccos\!\left(\frac{17}{20}\right)-17\sqrt{120-9}\\ &=400\cdot 0{,}553574\ -\ 17\cdot 10{,}535653\\ &=221{,}4296\ -\ 179{,}1061\\ &=\boxed{42{,}32\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]