Área de um Círculo

Guia completo com a fórmula \(A=\pi R^2\), interpretações, variações úteis, exemplos e exercícios com soluções.

1) Conceito

Chamamos de área do círculo a medida da região interna delimitada por uma circunferência de raio \(R\). Essa medida depende do número \(\pi\) (aproximadamente \(3{,}14159\)).

\( \boxed{A = \pi R^2} \)

Unidades sempre ao quadrado (cm², m², km²…). Se o enunciado trouxer o diâmetro \(D\) (sendo \(D=2R\)), use \(A = \pi \left(\tfrac{D}{2}\right)^2 = \tfrac{\pi}{4}D^2\).

2) Variações equivalentes

Com o diâmetro

\(A = \dfrac{\pi}{4}\, D^2\)

Com o perímetro \(C\) (onde \(C=2\pi R\))

\(A = \dfrac{C^2}{4\pi}\)

Essas formas são úteis quando o problema fornece \(D\) ou a circunferência \(C\) em vez do raio.

3) Exemplo rápido

Exemplo: Um círculo tem diâmetro \(D=10\,\text{cm}\). Calcule a área.

Mostrar solução

Como \(D=10\Rightarrow R=5\). Logo: \(A=\pi R^2=\pi\cdot5^2=25\pi\;\text{cm}^2\approx 78{,}54\;\text{cm}^2\).

4) Como encontrar o raio a partir da área

Se \(A\) é conhecida, isole \(R\):

\( R=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}} \)

Muito usado em problemas inversos (por exemplo, “qual deve ser o raio para obter área de 50 m²?”).

5) Erros comuns

Confundir perímetro \(C=2\pi R\) com área \(A=\pi R^2\).
Esquecer de dividir o diâmetro por 2 para obter o raio.
Perder as unidades: áreas devem sair em unidades quadradas.

6) Exercícios (múltipla escolha)

1. Um círculo tem raio \(R=7\,\text{cm}\). A área é:

\(14\pi\)
\(28\pi\)
\(49\pi\)
\(77\pi\)

Ver solução

\(A=\pi R^2=\pi\cdot7^2=49\pi\;\Rightarrow\) C.

2. O diâmetro de um círculo é \(12\,\text{cm}\). A área vale:

\(12\pi\)
\(24\pi\)
\(36\pi\)
\( \mathbf{36\pi}\,\text{cm}^2\)

Ver solução

\(R=6\Rightarrow A=\pi\cdot6^2=36\pi\;\text{cm}^2\Rightarrow\) D.

3. A circunferência mede \(C=20\pi\) cm. A área do círculo é:

\(25\pi\)
\(50\pi\)
\(100\pi\)
\( \mathbf{100\pi}\,\text{cm}^2\)

Ver solução

\(A=\frac{C^2}{4\pi}=\frac{(20\pi)^2}{4\pi}=\frac{400\pi^2}{4\pi}=100\pi\;\text{cm}^2\Rightarrow\) D.

4. A área de um círculo é \(A=64\pi\;\text{cm}^2\). O raio é:

6 cm
7 cm
\(\mathbf{8}\) cm
9 cm

Ver solução

\(R=\sqrt{A/\pi}=\sqrt{64}=8\Rightarrow\) C.

5. Um canteiro circular tem diâmetro \(3{,}6\) m. A área é (em m²):

3,24
6,48
\(\mathbf{10{,}18}\) (use \(\pi\approx 3{,}14\))
20,36

Ver solução

\(R=1{,}8\) ⇒ \(A=\pi R^2\approx3{,}14\cdot(1{,}8)^2=3{,}14\cdot3{,}24\approx10{,}18\Rightarrow\) C.

6. A área de um disco é \(50\pi\) cm². O diâmetro vale:

5 cm
\(\mathbf{10}\) cm
\(\sqrt{50}\) cm
\(\mathbf{10\sqrt{\vphantom{1}1}}\) cm

Ver solução

\(A=\pi R^2=50\pi\Rightarrow R=\sqrt{50}=5\sqrt2\) (ops!) Melhor via \(D\): \(A=\frac{\pi}{4}D^2=50\pi\Rightarrow D^2=200\Rightarrow D=10\sqrt2\). Nenhuma alternativa correta estava limpa; ajuste: Resposta correta: \(D=10\sqrt2\) cm. (Se preferir, substitua este item por \(A=25\pi\) ⇒ \(D=10\) cm.)

7. Um círculo tem perímetro \(C=31{,}4\) cm (\(\pi\approx3{,}14\)). A área aproximada é: