Área do Triângulo com Circunferência Circunscrita (A = abc/4R)
Use o circunrádio \(R\) para calcular a área de qualquer triângulo de forma rápida — com teoria, demonstração, exemplos e exercícios.
O que diz a fórmula do circunrádio?
Para um triângulo de lados \(a\), \(b\) e \(c\), cujo circunrádio é \(R\) (raio da circunferência circunscrita), a área pode ser calculada por:
\[ A \;=\; \frac{a\cdot b\cdot c}{4R} \]
Essa expressão é muito útil quando conhecemos as três medidas dos lados e o valor de \(R\). A forma inversa também aparece bastante em problemas:
\[ R \;=\; \frac{a\cdot b\cdot c}{4A} \]
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Por que a relação \(A=\dfrac{abc}{4R}\) é verdadeira?
Comece pela área via dois lados e o ângulo entre eles:
\[ A = \frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(C) \]
Da Lei dos Senos, \(\dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}=\dfrac{c}{\sin(C)}=2R\), logo \(\sin(C)=\dfrac{c}{2R}\).
Substituindo:
\[ A=\frac{1}{2}\,a\,b\,\frac{c}{2R}=\frac{a\,b\,c}{4R}. \]
O mesmo vale se usarmos \(\sin(A)\) ou \(\sin(B)\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 Básico
Num triângulo retângulo \(6\!-\!8\!-\!10\), o circunrádio é \(R=\dfrac{\text{hipotenusa}}{2}=5\). Calcule a área por \(abc/4R\).
Ver solução
\(A=\dfrac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 5}=\dfrac{480}{20}=24\). (Confere com \(A=\frac{6\cdot 8}{2}\)).
Exemplo 2 Equilátero
No triângulo equilátero de lado \(s=10\), sabe-se que \(R=\dfrac{s}{\sqrt{3}}\). Encontre a área usando \(abc/4R\).
Ver solução
Como \(a=b=c=s\): \(A=\dfrac{s^3}{4R}=\dfrac{10^3}{4\cdot \frac{10}{\sqrt3}}=25\sqrt3\approx 43{,}30.\)
Exemplo 3 Encontrando \(R\)
Para um triângulo com lados \(7,8,9\), determine o circunrádio.
Ver solução
Primeiro a área por Heron: \(s=\tfrac{7+8+9}{2}=12\).
\(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt5\approx 26{,}83.\)
Logo, \(R=\dfrac{abc}{4A}=\dfrac{7\cdot 8\cdot 9}{4\cdot 12\sqrt5}=\dfrac{504}{48\sqrt5}=\dfrac{10{,}5}{\sqrt5}\approx 4{,}70.\)
Exercícios de múltipla escolha (com gabarito)
Tente resolver sem consulta; depois abra o gabarito. Dificuldade crescente.
1) Em um triângulo retângulo com catetos \(6\) e \(8\) e hipotenusa \(10\), \(R=5\). A área é:
Gabarito e solução
\(A=\dfrac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 5}=24\Rightarrow\) Letra B.
2) Triângulo equilátero de lado \(12\). Sabendo que \(R=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\), a área é:
Gabarito e solução
\(A=\dfrac{12^3}{4\cdot 4\sqrt3}=36\sqrt3\Rightarrow\) Letra C.
3) Para o triângulo de lados \(7,9,12\), qual é o valor aproximado do circunrádio \(R\)?
Gabarito e solução
Heron: \(s=14\), \(A=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt5\approx 31{,}30\).
\(R=\dfrac{7\cdot 9\cdot 12}{4A}\approx \dfrac{756}{125{,}22}\approx 6{,}04\Rightarrow\) Letra B.
4) Um triângulo tem lados \(5,7,8\). Qual é \(R\) (aprox.)?
Gabarito e solução
Heron: \(s=10\), \(A=\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=10\sqrt3\approx 17{,}32\).
\(R=\dfrac{5\cdot 7\cdot 8}{4A}\approx \dfrac{280}{69{,}28}\approx 4{,}04\Rightarrow\) Letra C.
5) Para o triângulo \(13\!-\!14\!-\!15\) (área \(A=84\)), o circunrádio é:
Gabarito e solução
\(R=\dfrac{abc}{4A}=\dfrac{13\cdot 14\cdot 15}{336}=\dfrac{2730}{336}=\dfrac{65}{8}=8{,}125\Rightarrow\) Letra B.
6) Dado o triângulo \(8,15,17\) (retângulo), \(R=\dfrac{17}{2}\). A área é:
Gabarito e solução
\(A=\dfrac{8\cdot 15\cdot 17}{4\cdot 8{,}5}=60\Rightarrow\) Letra C.
7) Num triângulo equilátero com circunrádio \(R=5\), a área vale:
Gabarito e solução
Para equilátero: \(A=\dfrac{3\sqrt3}{4}R^2=\dfrac{3\sqrt3}{4}\cdot 25=\dfrac{75\sqrt3}{4}\Rightarrow\) Letra D.
8) Para o triângulo \(6,8,10\), calcule o circunrádio \(R\).
Gabarito e solução
Triângulo retângulo \(\Rightarrow R=\dfrac{\text{hipotenusa}}{2}=\dfrac{10}{2}=5\Rightarrow\) Letra B.
Dicas finais
- Em triângulos retângulos, \(R=\dfrac{\text{hipotenusa}}{2}\).
- No equilátero, \(R=\dfrac{s}{\sqrt3}\) e \(A=\dfrac{3\sqrt3}{4}R^2\).
- Para achar \(R\) com lados conhecidos, é comum usar Heron para obter \(A\) e então aplicar \(R=\dfrac{abc}{4A}\).
