Cálculo 1- Funções contínuas

Continuidade de Funções e o Teorema do Valor Intermediário

A continuidade de funções é um dos pilares do cálculo, sendo um conceito fundamental para compreender o comportamento das funções em torno de determinados pontos. Além disso, o Teorema do Valor Intermediário (TVI) fornece garantias sobre os valores que uma função contínua pode assumir em um intervalo.

O que é Continuidade?

Uma função \( f \) é dita contínua em um ponto \( x_0 \) do seu domínio se:

Para que isso ocorra, é necessário que:

• O limite \( \lim_{x \to x_0} f(x) \) exista;
• O valor \( f(x_0) \) esteja definido;
• Esses dois valores sejam iguais.

Funções Contínuas Comuns

• Polinômios \( P(x) \) e funções racionais \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) (onde \( Q(x) \neq 0 \)).
• Funções exponenciais \( a^x \) e logaritmos \( \log_a(x) \).
• Funções trigonométricas \( \sin x, \cos x \) e suas inversas (nos domínios apropriados).
• Composições e inversas de funções contínuas também são contínuas.

Teorema do Valor Intermediário (TVI)

O TVI afirma que se uma função \( f \) é contínua em um intervalo fechado \([a,b]\), então ela assume todos os valores entre \( f(a) \) e \( f(b) \).

O TVI garante a existência de soluções para equações do tipo \( f(x) = y_0 \) dentro do intervalo \([a,b]\), caso \( y_0 \) esteja entre \( f(a) \) e \( f(b) \).

Exemplo com Polinômio de Grau 3

Considere o polinômio:

Queremos encontrar uma raiz de \( P(x) = 0 \). Avaliando em alguns pontos:

• \( P(2) = 2^{3} – 2 \cdot 2 – 3 = 8 – 4 – 3 = 1 > 0 \)
• \( P(1) = 1^{3} – 2 \cdot 1 – 3 = 1 – 2 – 3 = -4 < 0 \)

Como \( P(1) < 0 \) e \( P(2) > 0 \), pelo TVI existe \( x_0 \in (1,2) \) tal que \( P(x_0) = 0 \).

Assíntotas e Limites no Infinito

Além da continuidade, é importante analisar como a função se comporta quando \( x \) tende ao infinito, o que nos leva ao estudo das assíntotas.

Se: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \] então a reta \( y = L \) é uma assíntota horizontal da função.

Próximo Passo: Derivadas

O estudo da continuidade e dos limites é essencial para introduzir o conceito de derivada, que será o próximo tema abordado. A derivada nos permitirá analisar a taxa de variação das funções e encontrar máximos e mínimos com precisão.

Exercícios Propostos

1. Mostre que \( f(x) = \frac{x^{2} – 4}{x – 2} \) é contínua em todos os pontos do seu domínio e analise o limite quando \( x \to 2 \).
2. Use o TVI para mostrar que a função \( g(x) = x^{3} – x – 2 \) tem uma raiz no intervalo \([1,2]\).