Introdução à Derivada: Taxa de Variação e Reta Tangente

Hoje iniciamos um dos temas mais importantes do cálculo: o estudo da derivada. Tudo o que vimos até agora sobre limites serve como preparação para este momento, pois a derivada é, essencialmente, um limite especial que descreve o comportamento local de uma função.

Por que estudar derivadas?

A derivada nos permite responder a perguntas fundamentais sobre uma função \(f(x)\), como:

• Em que intervalos a função está crescendo ou decrescendo?
• Onde estão os pontos de máximo ou mínimo (locais ou globais)?
• Onde a função muda de concavidade, ou seja, possui um ponto de inflexão?
• Qual a inclinação da reta tangente em um ponto específico do gráfico?

Todas essas respostas vêm do estudo da derivada, que é uma medida de como a função varia em torno de um ponto.

Taxa de Variação Média

Dada uma função \(f(x)\) definida em um intervalo \([x_1, x_2]\), a taxa média de variação é dada por:

Essa taxa representa a inclinação da reta secante que passa pelos pontos \((x_1, f(x_1))\) e \((x_2, f(x_2))\). Em aplicações físicas, ela pode representar, por exemplo, a velocidade média de um corpo entre dois instantes.

Taxa de Variação Instantânea

Para obter a taxa de variação em um ponto específico \(x_0\), consideramos o limite da taxa média quando \(x \to x_0\):

Este limite, quando existe, define a derivada da função no ponto \(x_0\), que corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)\) nesse ponto.

Definição Formal de Derivada

Seja \(f\) uma função definida em um intervalo aberto que contém \(x_0\). Dizemos que \(f\) é diferenciável em \(x_0\) se o limite:

existe e é um número real. A função derivada \(f'(x)\) é obtida ao se calcular este limite para todos os pontos \(x\) do domínio onde ele exista.

Exemplos Fundamentais

1. Função Constante

Se \(f(x) = c\), com \(c\) constante, então:

Isso porque uma função constante não varia — sua inclinação é sempre zero.

2. Função Identidade

Para \(f(x) = x\), temos:

O gráfico é uma reta com inclinação 1, e a derivada confirma isso.

3. Função Potência: \(f(x) = x^3\)

Usando a definição de derivada e técnicas de divisão de polinômios, obtemos:

O gráfico de \(x^3\) tem reta tangente horizontal em \(x = 0\) (pois \(f'(0) = 0\)), e inclinação crescente à medida que \(|x|\) aumenta.

Interpretação Geométrica

A derivada \(f'(x)\) fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)\) em um ponto. Por exemplo, para \(f(x) = x^3\):

• Se \(x > 0\), \(f'(x) > 0\): o gráfico é crescente.
• Se \(x < 0\), \(f'(x) > 0\): o gráfico também é crescente, mas com simetria ímpar.
• Em \(x = 0\), \(f'(0) = 0\): a tangente é horizontal.

Exercícios Rápidos

1. Calcule a derivada de \(f(x) = 5x^2\) a partir da definição.
2. Mostre que a derivada de \(f(x) = x^n\) (com \(n \in \mathbb{N}\)) é \(f'(x) = nx^{n-1}\).
3. Determine os pontos onde a reta tangente ao gráfico de \(g(x) = x^3 – 3x\) é horizontal.

Estudo da Derivada: Continuidade e Funções Definidas por Partes

Antes de começarmos a trabalhar com as regras de derivação, é importante consolidar o entendimento sobre a existência da derivada em pontos específicos de uma função. Um dos exemplos clássicos é quando temos uma função definida por partes, ou quando ocorre uma mudança brusca no comportamento da função.

Exemplo: Função Definida em Duas Partes

Vamos considerar a função \( f(x) \) definida da seguinte forma:

\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \ge 0 \\ 1 – 2x, & x < 0 \end{cases} \)

O objetivo é verificar se \( f(x) \) é diferenciável em \( x = 0 \). Para isso, analisamos os limites laterais da derivada:

\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \)

Calculando os limites laterais:

• Lado direito: Para \( x > 0 \), \( f(x) = x + 1 \). Temos:
  \( \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x+1) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1. \)
• Lado esquerdo: Para \( x < 0 \), \( f(x) = 1 - 2x \). Assim:
  \( \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(1-2x) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-2x}{x} = -2. \)

Como os limites laterais são diferentes (\(1 \neq -2\)), a derivada não existe em \( x = 0 \). Portanto, \( f \) é contínua em \( x = 0 \), mas não é diferenciável neste ponto.

Função Derivada

Para os demais pontos, temos:

\( f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -2, & x < 0 \end{cases} \)

Primeira Regra de Derivação

A primeira regra estudada é a multiplicação de uma função por uma constante:

Se \( g(x) = c \cdot f(x) \), então \( g'(x) = c \cdot f'(x) \).

Exemplo

Se \( f(x) = x \), então \( g(x) = 3x \). Logo, \( g'(x) = 3 \cdot 1 = 3 \).

Regras de Soma e Produto

Para duas funções \( f(x) \) e \( g(x) \):

• Soma: \( (f + g)’ = f’ + g’ \).
• Produto: \( (fg)’ = f’g + fg’ \).

Exemplo com Produto

Se \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^2 \), então:

\( (x \cdot x^2)’ = (x)’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x = 3x^2. \)

Fórmula Geral da Potência

Para qualquer \( n \in \mathbb{N} \), vale:

\( \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}. \)

Essa fórmula pode ser provada por indução ou diretamente usando as regras de produto.

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