Derivadas: regras, fórmulas, exemplos e exercícios
Guia prático para derivar funções: da ideia de taxa de variação às regras de derivação (soma, produto, quociente, potência e cadeia), com tabela trigonométrica, exemplos resolvidos linha a linha e exercícios com gabarito.
1) Intuição: de taxa média à derivada
Para \(f(x)\), a taxa média de variação no intervalo \([x_1,x_2]\) é
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}. \]
Fazendo \(x_2=x_1+b\) e \(b\to 0\), obtemos a taxa instantânea (derivada):
\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{b\to 0}\frac{f(x+b)-f(x)}{b} = f'(x). \]
Geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(x\).
2) Regras de derivação (álgebra de funções)
2.1 Regras básicas
| Função | Derivada |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(k\,x\) | \(k\) |
| \(k\,x^n\) | \(k\,n\,x^{\,n-1}\) |
| \(U\pm V\) | \(U’ \pm V’\) |
| \(U\cdot V\) | \(U’V + UV’\) |
| \(\dfrac{U}{V}\) | \(\dfrac{U’V – UV’}{V^2}\) |
| \(U^n\) | \(n\,U^{\,n-1}\,U’\) |
| Regra da cadeia | \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
2.2 Derivadas trigonométricas
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(\sin U\) | \(\cos U\cdot U’\) |
| \(\cos U\) | \(-\sin U\cdot U’\) |
| \(\tan U\) | \(\sec^2 U\cdot U’\) |
| \(\sec U\) | \(\sec U\,\tan U\cdot U’\) |
| \(\cot U\) | \(-\csc^2 U\cdot U’\) |
| \(\csc U\) | \(\csc U\,\cot U\cdot U’\) |
3) Exemplos resolvidos (linha a linha)
Exemplo 1 — Derive \(y=x^4-5x^2-7\).
y’ = 4x^3 – 10x
Exemplo 2 — Quociente: \(y=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\).
Ver solução passo a passo
\[
\begin{aligned}
U &= \sin x, & U’ &= \cos x,\\
V &= 1-\cos x, & V’ &= \sin x.\\[6pt]
y’ &= \frac{U’V – U V’}{V^2} \\[4pt]
&= \frac{\cos x(1-\cos x) – (\sin x)(\sin x)}{(1-\cos x)^2} \\[4pt]
&= \frac{\cos x – \cos^2 x – \sin^2 x}{(1-\cos x)^2} \\[4pt]
&= \frac{\cos x – (\cos^2 x+\sin^2 x)}{(1-\cos x)^2} \\[4pt]
&= \frac{\cos x – 1}{(1-\cos x)^2} \\[4pt]
&= -\,\frac{1-\cos x}{(1-\cos x)^2} \\[4pt]
&= \boxed{-\,\frac{1}{1-\cos x}}.
\end{aligned}
\]
Exemplo 3 — Regra da cadeia: \(y=(1-5x)^6\).
y’ = 6(1-5x)^5 \cdot (-5)
= -30(1-5x)^5
Exemplo 4 — Produto + cadeia: \(y=\sqrt{x}\,\cos(2x)\).
Ver solução
\[
\begin{aligned}
U &= \sqrt{x}=x^{1/2}, & U’ &= \tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}},\\
V &= \cos(2x), & V’ &= -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).\\[6pt]
y’ &= U’V + UV’ \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(2x) + \sqrt{x}\,(-2\sin(2x)) \\
&= \boxed{\frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} – 2\sqrt{x}\,\sin(2x)}.
\end{aligned}
\]
Exemplo 5 — Função racional: \(f(x)=\dfrac{3x+2}{2x+3}\).
f'(x) = [(3)(2x+3) – (3x+2)(2)] / (2x+3)^2
= [6x+9 – 6x – 4] / (2x+3)^2
= \boxed{\dfrac{5}{(2x+3)^2}}
4) Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito.
1) \(y=(x-2)^3(3-x)\). Calcule \(y’\) e \(y”\) e avalie \(y”(1)\).
2) \(f(x)=3\sqrt{x}-\dfrac{7}{\sqrt{x}}-5x\). Encontre \(f'(x)\).
3) \(y=\sin^{7}\!\big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\big)\). Determine \(y’\).
4) \(g(x)=\sqrt{x}-5+2\sqrt{x}+2\). Simplifique e derive.
5) \(h(x)=\sqrt{\sin(\cos 2x)}\). Use regra da cadeia múltipla e obtenha \(h'(x)\).
Gabarito
- \[ \begin{aligned} y&=(x-2)^3(3-x)\\ y’&=3(x-2)^2(3-x)-(x-2)^3\\ &= (x-2)^2\,[9-3x-x+2]\\ &= -(x-2)^2(4x-11)\\[4pt] y”&= -2(x-2)(4x-11)\;-\;4(x-2)^2\\ y”(1)&= -2(-1)(-7)-4(1)=\boxed{-18} \end{aligned} \]
- \[ \begin{aligned} f(x)&=3x^{1/2}-7x^{-1/2}-5x\\ f'(x)&=\tfrac{3}{2}x^{-1/2}+\tfrac{7}{2}x^{-3/2}-5\\ &=\boxed{\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{7}{2x\sqrt{x}}-5} \end{aligned} \]
- \[ \begin{aligned} y&=\sin^{7}\!\Big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\Big)\\ y’&=7\sin^{6}\!\Big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\Big)\cdot \cos\!\Big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\Big)\cdot (10x)\\ &=\boxed{70x\,\sin^{6}\!\Big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\Big)\cos\!\Big(5x^2-\tfrac{\pi}{2}\Big)} \end{aligned} \]
- \[ \begin{aligned} g(x)&=\sqrt{x}-5+2\sqrt{x}+2=3\sqrt{x}-3\\ g'(x)&=\boxed{\dfrac{3}{2\sqrt{x}}} \end{aligned} \]
- \[ \begin{aligned} h(x)&=\big(\sin(\cos 2x)\big)^{1/2}\\ h'(x)&=\tfrac{1}{2}\big(\sin(\cos 2x)\big)^{-1/2}\cdot \cos(\cos 2x)\cdot(-\sin 2x)\cdot 2\\ &=\boxed{-\,\dfrac{\sin 2x\;\cos(\cos 2x)}{\sqrt{\sin(\cos 2x)}}} \end{aligned} \]
5) Dicas finais e próximos passos
- Em produtos/quocientes, escreva cada passo em uma nova linha após o “=”.
- Na regra da cadeia, identifique os níveis de composição antes de derivar.
- Compare resultados no GeoGebra/Desmos para validar a inclinação da tangente.
