Domínio, contradomínio e imagem de uma Função

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Definições

Função \(f: A \to B\): para cada \(x \in A\) existe um único \(y \in B\) tal que \(y=f(x)\).

Domínio

Conjunto de partida (entradas permitidas). Ex.: \(A=\mathbb{Z}\) ou \(A=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Contradomínio

Conjunto de chegada possível. É definido junto com a função. Ex.: \(B=\mathbb{Z}\) ou \(B=\mathbb{R}\).

Imagem

Conjunto das saídas efetivamente obtidas: \(\mathrm{Im}(f)=\{\,f(x)\mid x\in A\,\}\). Sempre vale \(\mathrm{Im}(f)\subseteq B\).

Se \(\mathrm{Im}(f)=B\), a função é sobrejetora; se valores diferentes no domínio sempre geram valores diferentes, é injetora.

Exemplos da figura

1) \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) com \(f(x)=2x\)

No diagrama da esquerda: \(-2\mapsto -4,\,-1\mapsto -2,\,0\mapsto 0,\,1\mapsto 2,\,2\mapsto 4\).

Domínio: \(\mathbb{Z}\)
Contradomínio: \(\mathbb{Z}\)
Imagem dos mostrados: \(\{-4,-2,0,2,4\}\) (no geral, todos os pares).

2) \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) com \(g(x)=2x+1\)

No diagrama da direita: \(-2\mapsto -3,\; \tfrac12\mapsto 2,\; 0\mapsto 1,\; \sqrt3\mapsto 2\sqrt3+1,\; -0{,}7\mapsto -0{,}4\).

Domínio: \(\mathbb{R}\)
Contradomínio: \(\mathbb{R}\)
Imagem: \(\mathbb{R}\) (é sobrejetora e injetora — função afim crescente). Veja também equações do 1º grau.

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Erros comuns

Confundir imagem com contradomínio — a imagem é um subconjunto do contradomínio.
Esquecer de declarar o domínio corretamente (ex.: restringir \(x\) para evitar divisão por zero ou raiz de número negativo).
Tomar uma relação como função quando um mesmo \(x\) aparece ligado a dois \(y\).

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Exercícios (com solução)

1) Considere \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) dada por \(f(x)=2x\). Qual é a imagem do subconjunto \(\{-2,-1,0,1,2\}\)?

\(\{-3,-1,0,1,3\}\)
\(\{-4,-2,0,2,4\}\)
\(\{-2,-1,0,1,2\}\)
\(\{-5,-3,-1,1,3\}\)

Ver solução

\(f(-2)=-4\)
\(f(-1)=-2\)
\(f(0)=0\)
\(f(1)=2\)
\(f(2)=4\)
Imagem: \(\{-4,-2,0,2,4\}\) ⇒ alternativa (b).

2) Para \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=2x+1\), calcule \(g(-2),\, g\!\left(\tfrac12\right),\, g(0),\, g(\sqrt3),\, g(-0{,}7)\).

\(-3,\, 2,\, 1,\, 2\sqrt3+1,\,-0{,}4\)
\(-5,\, 1,\, 0,\, 2\sqrt3-1,\,-1{,}4\)
\(-1,\, 3,\, 1,\, 2\sqrt3+2,\, 0{,}3\)
\(-3,\, 1,\, 1,\, 2\sqrt3+1,\,-0{,}4\)

Ver solução

\(g(-2)=2(-2)+1=-3\)
\(g\!\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac12+1=2\)
\(g(0)=1\)
\(g(\sqrt3)=2\sqrt3+1\)
\(g(-0{,}7)=2(-0{,}7)+1=-0{,}4\)
Sequência: \(-3,\,2,\,1,\,2\sqrt3+1,\,-0{,}4\) ⇒ alternativa (a).

3) Qual afirmação é verdadeira?

A imagem é sempre igual ao contradomínio.
O domínio é igual ao contradomínio.
A imagem é subconjunto do contradomínio.
O domínio é subconjunto da imagem.

Ver solução

Por definição, \(\mathrm{Im}(f)\subseteq B\). Correta: alternativa (c).

4) Para \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) com \(h(x)=\sqrt{x-1}\), determine o domínio.

\(\mathbb{R}\)
\(x\ge 0\)
\(x>1\)
\(x\ge 1\)

Ver solução

É necessário \(x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\). Domínio: \([1,\infty)\) ⇒ alternativa (d).

5) Seja \(p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(p(x)=\dfrac{1}{x-2}\). Assinale a opção que descreve domínio e imagem.

Domínio: \(\mathbb{R}\); Imagem: \(\mathbb{R}\)
Domínio: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Imagem: \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
Domínio: \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Imagem: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
Domínio: \((-\infty,2)\); Imagem: \((0,\infty)\)

Ver solução

Denominador \(\neq 0\) ⇒ \(x\neq2\).
\(\dfrac{1}{x-2}=0\) não ocorre ⇒ imagem exclui 0.
Portanto: Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), Imagem \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ⇒ alternativa (b).

6) Em \(A=\{a,b\}\) e \(B=\{1,2,3\}\), a relação \(R=\{(a,1),(a,2),(b,3)\}\) é função?