Quantas Diretorias Diferentes Podem Ser Formadas? Questão de Análise Combinatória do ENEM 2025

1) Entendendo o universo de pessoas

Há 10 casais, portanto:

10 casais → 20 pessoas ao todo

Os cargos são distintos (presidente, secretário, tesoureiro), então a ordem em que escolhemos as pessoas importa.

A restrição diz que cada casal pode contribuir com, no máximo, uma pessoa. Ou seja, se um membro do casal já foi escolhido para um cargo, o outro não pode participar da diretoria.

2) Escolhendo o presidente

Para o cargo de presidente, nenhuma restrição ainda foi usada. Qualquer uma das 20 pessoas pode ser escolhida:

Número de escolhas para presidente: 20

3) Escolhendo o secretário

Depois que escolhemos o presidente, o casal dessa pessoa fica “impedido” de fornecer outra pessoa. Então:

• Já usamos 1 casal;
• Restam 9 casais livres, com 2 pessoas em cada.

Logo, para secretário temos:

9 casais × 2 pessoas por casal = 18 possibilidades

4) Escolhendo o tesoureiro

Agora já usamos dois casais diferentes (presidente e secretário). Restam:

8 casais livres → 8 × 2 = 16 pessoas disponíveis

Portanto, para o cargo de tesoureiro temos 16 possibilidades.

5) Multiplicando as escolhas

Como as escolhas são sucessivas e independentes (respeitando a regra dos casais distintos), o número total de diretorias possíveis é:

Número de diretorias = 20 × 18 × 16

Essa é exatamente a alternativa B.

✅ Quantidade de diretorias diferentes: 20 × 18 × 16

✅ Alternativa correta: B.