Exercício — Prisma pentagonal

Exercício — Prisma pentagonal (10 questões com soluções)

Exercício — Prisma pentagonal (10 questões)

Lista com situações-problema, múltipla escolha, grau de dificuldade crescente e soluções em “abre/fecha”.

Imagem do artigo.

Fórmulas úteis

Volume (qualquer prisma): $V = A_b \cdot h$

Área lateral — prisma reto: $A_L = p \cdot h$

Área lateral — prisma oblíquo: $A_L = p \cdot g$ (geratriz $g$)

Área total (qualquer prisma): $A_T = A_L + 2A_b$

Pentágono regular: $p=5a$, \quad $A_b=\dfrac{pr}{2}=\dfrac{5ar}{2}$ \quad ou \quad $A_b=\dfrac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt 5}$

Se o enunciado não disser o contrário, considere **prisma pentagonal reto**.

Questões (múltipla escolha)

1) Revestimento lateral

Um totem em forma de prisma pentagonal regular tem lado da base $a=4\text{ cm}$ e altura $h=10\text{ cm}$. Qual é a área lateral?

A) 120 cm²
B) 160 cm²
C) 180 cm²
D) 190 cm²
E) 200 cm²

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= 5ah\\ &= 5\cdot 4\cdot 10\\ &= \boxed{200\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

Alternativa correta: E.

2) Reservatório decorativo

Um reservatório é um prisma pentagonal regular com lado $a=6\text{ cm}$, apótema $r=4{,}1\text{ cm}$ e altura $h=12\text{ cm}$. Qual é o volume?

A) 492 cm³
B) 615 cm³
C) 738 cm³
D) 768 cm³
E) 820 cm³

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$$\begin{aligned} A_b &= \frac{5ar}{2}\\ &= \frac{5\cdot 6\cdot 4{,}1}{2}\\ &= 61{,}5\\[6pt] V &= A_b h\\ &= 61{,}5\cdot 12\\ &= \boxed{738\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

Alternativa correta: C.

3) Acabamento completo (prisma reto)

Um prisma pentagonal reto possui perímetro da base $p=42\text{ cm}$, altura $h=15\text{ cm}$ e área de uma base $A_b=120\text{ cm}^2$. Qual é a área total?

A) 750 cm²
B) 810 cm²
C) 840 cm²
D) 870 cm²
E) 900 cm²

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= p h\\ &= 42\cdot 15\\ &= 630\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= 630 + 2\cdot 120\\ &= \boxed{870\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

Alternativa correta: D.

4) Planificação com aba

Um molde de prisma pentagonal regular tem $a=8\text{ cm}$ e $h=18\text{ cm}$. Considere uma aba de cola de 1 cm ao longo de uma aresta lateral (altura $h$). Aproximando ao inteiro mais próximo, qual é a área total da chapa (faixa + 2 bases + aba)?

A) 942 cm²
B) 948 cm²
C) 958 cm²
D) 964 cm²
E) 972 cm²

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= 5ah = 5\cdot 8\cdot 18 = 720\\ A_b &= \frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt5} = \frac{64}{4}\cdot \sqrt{25+10\sqrt5} = 16\cdot 6{,}882 \approx 110{,}112\\ A_{\text{sem abas}} &= 720 + 2\cdot 110{,}112 \approx 940{,}224\\ A_{\text{aba}} &= 1\cdot 18 = 18\\ A_{\text{total}} &\approx 958{,}224 \Rightarrow \boxed{958\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

Alternativa correta: C.

5) Custo de pintura (apenas lateral)

Um estojo rígido em forma de prisma pentagonal regular será pintado somente nas faces laterais. Dados: $a=5\text{ cm}$, $h=20\text{ cm}$. Preço da pintura: R$ 80,00/m². Qual é o custo?

A) R$ 2,50
B) R$ 3,20
C) R$ 4,00
D) R$ 5,00
E) R$ 6,40

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= 5ah = 5\cdot 5\cdot 20 = 500\ \text{cm}^2\\ &= 0{,}05\ \text{m}^2\\ \text{Custo} &= 0{,}05\times 80\\ &= \boxed{\text{R\$ }4{,}00} \end{aligned}$$

Alternativa correta: C.

6) Dimensionamento pela capacidade

Um tubo porta-projetos tem formato de prisma pentagonal regular com lado $a=7\text{ cm}$ e apótema $r=4{,}8\text{ cm}$. Deseja-se volume de $1{,}5\text{ L}$. Qual deve ser a altura do prisma?

A) 14,3 cm
B) 15,8 cm
C) 16,7 cm
D) 17,9 cm
E) 19,5 cm

Ver solução

$$\begin{aligned} A_b &= \frac{5ar}{2}=\frac{5\cdot 7\cdot 4{,}8}{2}=84\\ V &= 1{,}5\ \text{L}=1500\ \text{cm}^3\\ h &= \frac{V}{A_b}=\frac{1500}{84}\approx \boxed{17{,}86\ \text{cm}} \end{aligned}$$

Alternativa correta: D.

7) Descobrindo o lado

Num prisma pentagonal regular, a área lateral é $900\text{ cm}^2$ e a altura é $15\text{ cm}$. Qual é o lado do pentágono?

A) 8 cm
B) 10 cm
C) 12 cm
D) 14 cm
E) 16 cm

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= 5ah \Rightarrow a=\frac{A_L}{5h} =\frac{900}{5\cdot 15} = \boxed{12\ \text{cm}} \end{aligned}$$

Alternativa correta: C.

8) Escalonamento do protótipo

Um protótipo de prisma pentagonal regular é ampliado em 1,5× em todas as dimensões lineares. Como variam área total e volume?

A) Área ×1,5 e Volume ×2,25
B) Área ×2,25 e Volume ×3,375
C) Área ×3,375 e Volume ×2,25
D) Área ×2 e Volume ×3
E) Área ×1,5 e Volume ×1,5

Ver solução

$$\begin{aligned} k &= 1{,}5,\quad \text{Áreas}\to k^2=2{,}25,\quad \text{Volumes}\to k^3=3{,}375\\ \Rightarrow &\ \boxed{\text{Área }\times 2{,}25\ \text{ e Volume }\times 3{,}375} \end{aligned}$$

Alternativa correta: B.

9) Projeto com perímetro fixo

Na fabricação, definiu-se perímetro da base $p$ e altura $h$ fixos para um prisma pentagonal reto. Qual afirmação é verdadeira?

A) A área lateral muda se mudarmos a forma do pentágono mantendo $p$.
B) O volume muda se mudarmos a forma do pentágono mantendo $p$.
C) A área total independe de $A_b$.
D) O volume é constante.
E) A área lateral é constante.

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= p h \ (\text{reto})\ \Rightarrow \text{constante}\\ V &= A_b h \ \Rightarrow \text{depende de } A_b \end{aligned}$$

Verdadeira: E. As demais são falsas.

10) Recuperando a altura pelo acabamento (prisma reto)

Um prisma pentagonal reto tem área total $A_T=920\text{ cm}^2$, área de cada base $A_b=135\text{ cm}^2$ e perímetro da base $p=50\text{ cm}$. Qual é a altura do prisma?

A) 10 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) 14 cm

Ver solução

$$\begin{aligned} A_L &= A_T – 2A_b\\ &= 920 – 2\cdot 135\\ &= 920 – 270\\ &= 650\\[6pt] h &= \frac{A_L}{p} = \frac{650}{50} = \boxed{13\ \text{cm}} \end{aligned}$$

Alternativa correta: D.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.