Expressões Numéricas com Números Inteiros — Guia Completo
Domine as expressões numéricas com números inteiros (\(\mathbb{Z}\)): regras de sinais, ordem de prioridade, exemplos e exercícios com gabarito. Para reforçar a base, veja Conjuntos Numéricos, revise Números Inteiros e compare com Números Naturais. Se quiser o foco em naturais, consulte: Expressões Numéricas com Números Naturais. Para nível seguinte, acesse Expressões Numéricas (Nível 2).
Inteiros \(\mathbb{Z}\): \(\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\). Incluem negativos, zero e positivos.
Em expressões, atenção aos sinais e à prioridade das operações.
Ordem de Prioridade
- Parênteses \((\,)\), depois colchetes \([\;]\) e chaves \(\{\;\}\)
- Potenciação e Radiciação
- Multiplicação e Divisão (da esquerda para a direita)
- Soma e Subtração (da esquerda para a direita)
Regras de Sinais (essenciais em \(\mathbb{Z}\))
- Oposto e módulo: o oposto de \(a\) é \(-a\); \(|a|\) é a distância até o zero.
- Soma: sinais iguais ⇒ some os módulos e mantenha o sinal; sinais diferentes ⇒ subtraia os módulos e use o sinal do maior módulo.
Ex.: \(7+(-10) = -(10-7) = -3\). - Subtração: transforme em adição do oposto: \(a-b=a+(-b)\).
- Multiplicação e divisão (sinal): sinais iguais ⇒ resultado positivo; sinais diferentes ⇒ resultado negativo. Ex.: \((-4)\times(-5)=20\); \(18\div(-3)=-6\).
- Potenciação com base negativa: \((\,-3\,)^2=9\) (expoente par dá positivo); \((\,-3\,)^3=-27\) (expoente ímpar dá negativo).
Importante: \(-3^2 = -(3^2) = -9\) (sem parênteses, o sinal não faz parte da base). - Radiciação: \(\sqrt{a}\) só é inteiro quando \(a\) é quadrado perfeito e \(a\ge 0\).
Raízes ímpares admitem negativos: \(\sqrt[3]{-27}=-3\).
Exemplos Resolvidos Passo a Passo
📌 Exemplo 1 — Soma e subtração com negativos
\( 12 + (-7) – (-5) + (-3) = 12 – 7 + 5 – 3 = 7 \)
📌 Exemplo 2 — Agrupamentos e produto
\( \{-8 + [6 – (-4)]\} + (-5)\times2 = \{-8 + 10\} – 10 = 2 – 10 = -8 \)
📌 Exemplo 3 — Potências: parênteses fazem diferença
\( (-3)^2 + 4\times(-2) – 5^2 = 9 – 8 – 25 = -24 \)
Note a diferença entre \( (-3)^2=9 \) e \( -3^2=-9 \).
📌 Exemplo 4 — Raiz, potências e divisão com sinal
\( \sqrt{144} – [(-3)^3] + 2\times\big((-6)\div3\big) = 12 – (-27) + 2\times(-2) = 12+27-4 = 35 \)
📌 Exemplo 5 — Misturando tudo (resultado nulo)
\( \{5 – [2 – (-3)]\}\times(-2) = (5-5)\times(-2) = 0 \)
Erros Comuns (e como evitar)
- Esquecer os parênteses na base negativa: \( -2^2=-4\) (correto), mas \( (-2)^2=4 \).
- Trocar regras de sinais: produto/divisão com sinais diferentes é negativo.
- Subtrair sem inverter o termo: lembre: \(a-b=a+(-b)\).
- Raiz de negativo: \(\sqrt{-1}\) não é inteiro nem real (fora do escopo deste guia).
🧠 Exercícios Propostos
Resolva as expressões abaixo e confira no gabarito interativo:
- \( 12 + (-7) – (-5) + (-3) \)
- \( \{-8 + [6 – (-4)]\} + (-5)\times2 \)
- \( (-3)^2 + 4\times(-2) – 5^2 \)
- \( \sqrt{144} – [(-3)^3] + 2\times\big((-6)\div3\big) \)
- \( \{5 – [2 – (-3)]\}\times(-2) \)
- \( (-2)^4 – (-2)^3 + (-2)^2 – (-2) \)
- \( 18\div(-3) + (-4)\times(-5) – (-2)^2 \)
- \( \big[-7 + 3\times(-2)\big]^2 – 4\times\big[-7 + 3\times(-2)\big] \)
- \( \sqrt{81} + \sqrt{49} – \sqrt{25} – \sqrt{16} + (-3)^2 \)
- \( \{40 – [12 – (-2 + 6)]\} \div (-2) \)
📘 Gabarito com Soluções Passo a Passo
1)
\( 12 – 7 + 5 – 3 = 7 \)
Resposta: 7
2)
\( 6 – (-4)=10 \Rightarrow -8+10=2 \Rightarrow 2 + (-5)\times2 = 2-10 = -8 \)
Resposta: -8
3)
\( (-3)^2=9,\ 4\times(-2)=-8 \Rightarrow 9-8-5^2=1-25=-24 \)
Resposta: -24
4)
\( \sqrt{144}=12,\ (-3)^3=-27,\ (-6)\div3=-2 \Rightarrow 12-(-27)+2\times(-2)=12+27-4=35 \)
Resposta: 35
5)
\( 2-(-3)=5 \Rightarrow 5-5=0 \Rightarrow 0\times(-2)=0 \)
Resposta: 0
6)
\( 16 – (-8) + 4 – (-2) = 16+8+4+2 = 30 \)
Resposta: 30
7)
\( 18\div(-3)=-6,\ (-4)\times(-5)=20,\ (-2)^2=4 \Rightarrow -6+20-4=10 \)
Resposta: 10
8)
Seja \(t=-7+3\times(-2)=-7-6=-13\). Então \(t^2-4t=169-4(-13)=169+52=221\).
Resposta: 221
9)
\( 9+7-5-4+9 = 16 \)
Resposta: 16
10)
\((-2)+6=4 \Rightarrow [12-4]=8 \Rightarrow \{40-8\}=32 \Rightarrow 32\div(-2)=-16
Resposta: -16
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🧠 Exercícios — Múltipla Escolha (Números Inteiros)
Marque a alternativa correta. Em seguida, clique em Ver solução para conferir o passo a passo.
- \( 12 + (-7) – (-5) + (-3) \)
- A) 5
- B) 7
- C) -3
- D) 9
Ver solução
\( 12 – 7 + 5 – 3 = 7 \)Alternativa correta: B
- \( \{-8 + [6 – (-4)]\} + (-5)\times2 \)
- A) -6
- B) -8
- C) 2
- D) -10
Ver solução
\( 6 – (-4)=10 \Rightarrow -8+10=2 \Rightarrow 2 + (-5)\times2 = 2-10 = -8 \)Alternativa correta: B
- \( (-3)^2 + 4\times(-2) – 5^2 \)
- A) -24
- B) -22
- C) -14
- D) 24
Ver solução
\( (-3)^2=9,\ 4\times(-2)=-8,\ 5^2=25 \Rightarrow 9-8-25 = 1-25 = -24 \)Alternativa correta: A
- \( \sqrt{144} – [(-3)^3] + 2\times\big((-6)\div3\big) \)
- A) 33
- B) 35
- C) 39
- D) 31
Ver solução
\( \sqrt{144}=12,\ (-3)^3=-27,\ (-6)\div3=-2 \Rightarrow 12 – (-27) + 2\times(-2) = 12+27-4 = 35 \)Alternativa correta: B
- \( \{5 – [2 – (-3)]\}\times(-2) \)
- A) -10
- B) 0
- C) 10
- D) -2
Ver solução
\( 2-(-3)=5 \Rightarrow 5-5=0 \Rightarrow 0\times(-2)=0 \)Alternativa correta: B
- \( (-2)^4 – (-2)^3 + (-2)^2 – (-2) \)
- A) 28
- B) 30
- C) 32
- D) 24
Ver solução
\( 16 – (-8) + 4 – (-2) = 16+8+4+2 = 30 \)Alternativa correta: B
- \( 18\div(-3) + (-4)\times(-5) – (-2)^2 \)
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) -10
Ver solução
\( 18\div(-3)=-6,\ (-4)\times(-5)=20,\ (-2)^2=4 \Rightarrow -6+20-4=10 \)Alternativa correta: B
- \( \big[-7 + 3\times(-2)\big]^2 – 4\times\big[-7 + 3\times(-2)\big] \)
- A) 195
- B) 221
- C) 143
- D) 169
Ver solução
Seja \(t=-7+3\times(-2)=-13\). Logo \(t^2-4t=169-4(-13)=169+52=221\).Alternativa correta: B
- \( \sqrt{81} + \sqrt{49} – \sqrt{25} – \sqrt{16} + (-3)^2 \)
- A) 14
- B) 16
- C) 12
- D) 18
Ver solução
\( 9 + 7 – 5 – 4 + 9 = 16 \)Alternativa correta: B
- \( \{40 – [12 – (-2 + 6)]\} \div (-2) \)
- A) -18
- B) -12
- C) -16
- D) 16
Ver solução
\((-2)+6=4 \Rightarrow [12-4]=8 \Rightarrow \{40-8\}=32 \Rightarrow 32\div(-2)=-16Alternativa correta: C
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