Forma fatorada da Função Quadrática (com demonstração + exercícios)
Neste guia você aprende a passar de \(ax^2+bx+c\) para a **forma fatorada** \(a(x-x’)(x-x”)\), usando as raízes via **Fórmula de Bhaskara**. Há demonstração, exemplos com contas em coluna e uma lista de exercícios com gabarito passo a passo.
Para complementar, veja também: função quadrática (guia completo), gráfico da função quadrática, vértice da parábola, valor máximo e mínimo, coeficientes b e c, coeficiente a e concavidade, pontos notáveis e a parábola.
Da forma padrão para a forma fatorada: \(f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow a(x-x’)(x-x”)\).
Definição em uma linha
Forma fatorada
\[
\boxed{\,f(x)=ax^2+bx+c
\;\Longrightarrow\;
f(x)=a\,(x-x’)(x-x”)\,}
\]
onde \(x’\) e \(x”\) são as raízes reais (se existirem). Se \(\Delta=0\), temos raiz dupla e \(f(x)=a(x-x_0)^2\). Se \(\Delta<0\), não há fatoração real.
Refresque as fórmulas antes de fatorar! Consulte o e-book de Fórmulas de Matemática e acelere sua revisão. Complemente com: mapas mentais, banco de questões, coleção com 10 e-books e ENEM Matemática.
Como encontrar \(x’\) e \(x”\) (Bhaskara)
\[
\Delta=b^2-4ac,\qquad
x’,x”=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
Dica: calcule \(\Delta\) primeiro, depois as raízes, e só então escreva \(f(x)=a(x-x’)(x-x”)\).
Demonstração (por Viète, em passos curtos)
\[
\begin{aligned}
f(x)&=ax^2+bx+c\\[2pt]
\text{Colocando }a\text{ em evidência:}\quad
f(x)&=a\!\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\[4pt]
\text{Se }x’,x”\text{ são raízes:}\quad
x’+x”&=-\frac{b}{a},\quad x’\!\cdot x”=\frac{c}{a}\\[4pt]
f(x)&=a\,[x^2-(x’+x”)x+x’\!\cdot x”]\\
&=a\,(x-x’)(x-x”)
\end{aligned}
\]
Exemplos resolvidos (contas em coluna)
Exemplo 1 — Fatore \(3x^2-5x-2\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= (-5)^2-4\cdot 3\cdot (-2)\\
&= 25+24\\
&= 49\\[4pt]
x’ &= \frac{5-7}{6}\\
&= -\frac{2}{6}\\
&= -\frac{1}{3}\\[4pt]
x” &= \frac{5+7}{6}\\
&= \frac{12}{6}\\
&= 2
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)\,}
\]
Exemplo 2 — Fatore \(x^2+6x+9\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 6^2-4\cdot 1\cdot 9\\
&= 36-36\\
&= 0\\[4pt]
x’=x” &= \frac{-6}{2}\\
&= -3
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,x^2+6x+9=(x+3)^2\,}
\]
1) Fatore \(3x^2-2x-8\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= (-2)^2-4\cdot 3\cdot (-8)\\
&= 4+96\\
&= 100\\[4pt]
x’ &= \frac{2-10}{6}\\
&= -\frac{8}{6}\\
&= -\frac{4}{3}\\[4pt]
x” &= \frac{2+10}{6}\\
&= \frac{12}{6}\\
&= 2
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2)\,}
\]
2) Fatore \(x^2-10x+25\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 100-100\\
&= 0\\[4pt]
x’=x” &= \frac{10}{2}\\
&= 5
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,x^2-10x+25=(x-5)^2\,}
\]
3) Fatore \(2x^2-5x-12\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 25+96\\
&= 121\\[4pt]
x’ &= \frac{5-11}{4}\\
&= -\frac{6}{4}\\
&= -\frac{3}{2}\\[4pt]
x” &= \frac{5+11}{4}\\
&= \frac{16}{4}\\
&= 4
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,2x^2-5x-12=(2x+3)(x-4)\,}
\]
4) Fatore \(5x^2+5x+1\).
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 25-20\\
&= 5\\[4pt]
x’ &= \frac{-5-\sqrt{5}}{10}\\
x” &= \frac{-5+\sqrt{5}}{10}
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\,5x^2+5x+1=5\!\left(x-\frac{-5-\sqrt{5}}{10}\right)\!\left(x-\frac{-5+\sqrt{5}}{10}\right)\,}
\]
5) (Múltipla escolha) A forma fatorada de \(x^2-7x+12\) é:
- (A) \((x-6)(x-1)\)
- (B) \((x-3)(x-4)\) ✓
- (C) \((x+3)(x+4)\)
- (D) \((x-2)(x-6)\)
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 49-48\\
&= 1\\[4pt]
x’ &= \frac{7-1}{2}\\
&= 3\\
x” &= \frac{7+1}{2}\\
&= 4
\end{aligned}
\]
6) (Múltipla escolha) Para \(x^2+4x+3\), escolha a fatoração correta.
- (A) \((x-3)(x-1)\)
- (B) \((x+1)(x+3)\) ✓
- (C) \((x+2)(x+2)\)
- (D) \((x-1)(x-3)\)
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 16-12\\
&= 4\\[4pt]
x’ &= \frac{-4-2}{2}\\
&= -3\\[4pt]
x” &= \frac{-4+2}{2}\\
&= -1
\end{aligned}
\]
7) (Múltipla escolha) A expressão \(4x^2-9\) fatora-se como:
- (A) \((2x-3)^2\)
- (B) \((2x-3)(2x+3)\) ✓
- (C) \((x-3)(4x+3)\)
- (D) Não é fatorável em \(\mathbb{R}\)
\[
\begin{aligned}
4x^2-9 &= (2x)^2-3^2\\
&= (2x-3)(2x+3)
\end{aligned}
\]
8) (Múltipla escolha) Se \(\Delta=0\), então \(ax^2+bx+c\) pode ser escrito como:
- (A) \(a(x-x_0)^2\) ✓
- (B) \(a(x+x_0)^2\)
- (C) \((x-x’)(x-x”)\) com \(x’\ne x”\)
- (D) Nenhuma das anteriores
\[
\Delta=b^2-4ac\quad\Rightarrow\quad
\Delta=0 \Rightarrow \text{raiz dupla} \Rightarrow f(x)=a(x-x_0)^2
\]
Quando é possível fatorar em \(\mathbb{R}\)?
| Condição no discriminante | Raízes | Forma fatorada |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | duas raízes reais distintas | \(a(x-x’)(x-x”)\) |
| \(\Delta=0\) | raiz dupla | \(a(x-x_0)^2\) |
| \(\Delta<0\) | não há raízes reais | não há fatoração real |
Materiais que aceleram seus estudos:
- E-book de Fórmulas de Matemática — referência rápida, perfeita para fatoração e revisão.
- Mapas mentais de matemática — visualize os tópicos de forma organizada.
- Banco de questões — prática direcionada com gabarito.
- Coleção com 10 e-books — conteúdo completo para o ano todo.
- ENEM Matemática — foco no que mais cai.
