Frações — Conceito e Introdução
Definição, fração como parte de um todo, representação gráfica e papel do numerador e do denominador.
As frações estão no centro da Matemática e do cotidiano: dividir uma pizza, medir ingredientes, interpretar descontos ou ler gráficos envolve pensar o inteiro em partes iguais. Este guia apresenta a base que você precisa para avançar com segurança para Números Racionais, Números Reais e a visão geral dos Conjuntos Numéricos.
1) O que é uma fração? (Definição)
Uma fração é uma forma de representar uma divisão do inteiro em partes iguais. Escrevemos na forma \( \frac{a}{b} \), em que a é o numerador e b é o denominador, com \( b \neq 0 \).
Conexão: toda fração representa um número no conjunto dos Números Racionais, que está contido nos Números Reais. Veja também a hierarquia completa em Conjuntos Numéricos.
2) Fração como parte de um todo
Sempre que dividimos algo em partes iguais, cada parte pode ser descrita por uma fração.
- Pizza em 8 fatias e você come 3: \( \frac{3}{8} \).
- Tanque meio cheio: \( \frac{1}{2} \).
- R$ 0,25 de R$ 1,00: \( \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \).
Representação de \( \frac{3}{8} \)
Três das oito partes iguais do círculo estão destacadas.
Leitura e interpretação
Para interpretar rapidamente: o denominador diz em quantas partes o todo foi dividido; o numerador diz quantas dessas partes estão sendo consideradas.
3) Representação gráfica de frações
Desenhos de círculos, retângulos ou barras fracionárias ajudam a visualizar como o inteiro foi dividido e quais partes foram tomadas. Isso torna o conceito mais intuitivo, especialmente nos primeiros estudos.
4) Numerador e denominador
Na fração \( \frac{a}{b} \):
- Numerador (a): quantidade de partes consideradas.
- Denominador (b): número de partes iguais em que o todo foi dividido (\( b \neq 0 \)).
5) Para continuar seus estudos
Aprofunde o tema consultando conteúdos relacionados:
- Números Racionais — onde as frações se encaixam e como operá-las.
- Números Reais — conjunto que inclui racionais (frações) e irracionais.
- Conjuntos Numéricos — visão geral e hierarquia dos conjuntos.
Classificação das Frações
Frações próprias, impróprias, aparentes, decimais e unitárias, com exemplos práticos e aplicações.
As frações podem ser classificadas de acordo com a relação entre o numerador e o denominador. Essa classificação é fundamental para compreender como realizar operações com números racionais e aplicar corretamente conceitos envolvendo frações e decimais.
1) Frações próprias
São aquelas em que o numerador é menor que o denominador, representando sempre uma quantidade menor que 1.
Essas frações são úteis para expressar partes menores de um todo, como “metade de uma barra de chocolate” ou “um terço de um litro de suco”.
2) Frações impróprias
Ocorrem quando o numerador é maior ou igual ao denominador, resultando em um valor maior ou igual a 1.
Essas frações podem ser convertidas em números mistos, como: \( \dfrac{7}{4} = 1 \dfrac{3}{4} \).
3) Frações aparentes
São um caso especial de frações impróprias: ocorre quando o numerador é um múltiplo exato do denominador, resultando sempre em um número inteiro.
Embora sejam escritas na forma de fração, elas não expressam “parte de um todo”, mas sim um número inteiro.
4) Frações decimais
São frações que possuem como denominador uma potência de 10, como 10, 100, 1000, etc. Elas têm uma relação direta com os números decimais.
Esse tipo de fração facilita a conversão entre frações e decimais. Para aprofundar o tema, veja nosso artigo sobre operações com números decimais.
5) Frações unitárias
São frações cujo numerador é igual a 1. Representam sempre uma única parte do inteiro dividido.
As frações unitárias são fundamentais em divisões e proporções. Elas também servem de base para cálculos mais avançados, como probabilidade.
6) Importância da classificação das frações
Classificar frações ajuda a entender como elas se comportam em diferentes operações matemáticas:
- Frações próprias: representam quantidades menores que 1, comuns em medidas e receitas.
- Frações impróprias: aparecem em cálculos que envolvem somas ou multiplicações que ultrapassam o inteiro.
- Frações decimais: facilitam conversões para números decimais e operações financeiras.
- Frações unitárias: servem como base para conceitos de divisão igualitária.
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🔗 Acessar Canais OficiaisComparação e Ordem de Frações
Aprenda a comparar e ordenar frações passo a passo com métodos práticos e exemplos detalhados.
Comparar e ordenar frações é uma habilidade fundamental em Matemática. Essa compreensão é essencial para resolver problemas, interpretar gráficos, lidar com proporções e realizar operações com números decimais. Vamos aprender os principais métodos passo a passo.
1) Frações com denominadores iguais
Quando os denominadores são iguais, a comparação é simples: a fração com o maior numerador é a maior.
\( \dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8} \) porque \(3 < 5\).
\( \dfrac{7}{12} > \dfrac{4}{12} \) porque \(7 > 4\).
Esse método é direto, pois as partes do inteiro têm o mesmo tamanho, restando apenas verificar quantas partes foram tomadas.
2) Frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores são diferentes, precisamos analisar a fração com cuidado. Existem duas técnicas principais:
🟢 Método 1 — Transformação para denominadores comuns
O objetivo é encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador para facilitar a comparação.
Calculamos o mmc entre 4 e 6: \( \text{mmc}(4,6) = 12 \).
\( \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \) e \( \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \).
Logo, \( \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6} \).
🟢 Método 2 — Multiplicação cruzada
Uma técnica mais rápida para frações com denominadores diferentes:
- Multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
- Multiplique o numerador da segunda pelo denominador da primeira.
- Compare os resultados.
\( 7 \times 8 = 56 \)
\( 5 \times 9 = 45 \)
Como \(56 > 45\), temos \( \dfrac{7}{9} > \dfrac{5}{8} \).
3) Conversão para números decimais
Outra forma de comparar frações é transformá-las em números decimais. Isso facilita bastante quando as frações possuem denominadores grandes.
\( \dfrac{7}{8} = 0,875 \)
\( \dfrac{5}{6} \approx 0,833 \)
Logo, \( \dfrac{7}{8} > \dfrac{5}{6} \).
Para dominar melhor a conversão entre frações e números decimais, veja o artigo sobre números decimais. Além disso, para compreender casos de repetições infinitas, estude também as dízimas periódicas.
4) Dicas rápidas para ordenar várias frações
- Quando possível, compare frações com o mesmo denominador.
- Se os denominadores forem diferentes, prefira o método da multiplicação cruzada.
- Para simplificar, converta frações para números decimais.
Convertendo para decimais:
\( \dfrac{2}{5} = 0,4 \), \( \dfrac{3}{4} = 0,75 \), \( \dfrac{5}{6} \approx 0,833 \).
Ordem crescente: \( \dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6} \).
Simplificação de Frações
Aprenda a simplificar frações usando o MDC, a simplificação direta e frações equivalentes com exemplos claros.
Simplificar frações significa reduzir uma fração aos seus termos mais simples, sem alterar o valor que ela representa. Esse processo é essencial para facilitar cálculos e interpretar dados corretamente. O estudo das frações está diretamente relacionado aos conjuntos numéricos e às operações com números racionais.
1) Simplificação usando o Máximo Divisor Comum (MDC)
O método mais eficiente para simplificar frações é dividir o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum (MDC), que é o maior número inteiro que divide os dois ao mesmo tempo.
🟢 Passos para simplificar usando o MDC
- Encontre o MDC entre numerador e denominador.
- Divida os dois números por esse valor.
- O resultado será a fração simplificada.
Passo 1: \( \text{MDC}(24,36) = 12 \).
Passo 2: Dividindo numerador e denominador por 12:
\( \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3} \).
Logo, \( \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3} \).
2) Simplificação direta
Em alguns casos, não é necessário calcular o MDC. Podemos simplificar a fração diretamente ao identificar divisores comuns.
Perceba que ambos os números são divisíveis por 9:
\( \dfrac{18 \div 9}{27 \div 9} = \dfrac{2}{3} \).
Portanto, a fração \( \dfrac{18}{27} \) é equivalente a \( \dfrac{2}{3} \).
Esse método é mais rápido quando os divisores são fáceis de identificar.
3) Frações equivalentes
Duas frações são chamadas de frações equivalentes quando representam a mesma quantidade, mesmo que os números do numerador e denominador sejam diferentes.
\( \dfrac{2}{3} \), \( \dfrac{4}{6} \) e \( \dfrac{6}{9} \) são equivalentes porque:
\( \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} \).
Para obter frações equivalentes, podemos multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número (diferente de zero):
Entender frações equivalentes é essencial para comparações, ordenação e operações com frações.
4) Por que simplificar frações?
- Facilita cálculos: frações menores são mais fáceis de manipular.
- Melhora a compreensão: interpretar valores fica mais intuitivo.
- Evita erros: frações equivalentes simplificadas reduzem a chance de cálculos incorretos.
5) Para aprofundar seus estudos
- Conjuntos Numéricos — descubra onde as frações se encaixam na hierarquia numérica.
- Operações com Números Racionais — aprenda a somar, subtrair, multiplicar e dividir frações com segurança.
Operações com Frações
Adição, subtração, multiplicação e divisão — passo a passo com exemplos.
Antes de operar com frações, é útil revisar os números naturais e os números inteiros, pois as operações com frações generalizam as ideias de soma, subtração, multiplicação e divisão. Para revisões rápidas, acesse os Mapas Mentais de Matemática. Se estiver estudando para provas, veja também ENEM Matemática.
5.1 Adição de frações
a) Com denominadores iguais
Mantenha o denominador e some os numeradores.
b) Com denominadores diferentes
Encontre frações equivalentes com o mesmo denominador (via mmc) e some os numeradores.
\(\text{mmc}(4,6)=12\).
\( \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12} \), \( \dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12} \).
Soma: \( \dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}=1\dfrac{7}{12} \).
5.2 Subtração de frações
a) Com denominadores iguais
Mantenha o denominador e subtraia os numeradores.
b) Com denominadores diferentes
Traga para denominadores comuns (mmc) e subtraia os numeradores.
\(\text{mmc}(6,4)=12\).
\( \dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12} \), \( \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12} \).
\( \dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12} \).
5.3 Multiplicação de frações
a) Entre duas frações
Multiplique numeradores entre si e denominadores entre si. Sempre que possível, simplifique antes.
Melhor ainda, simplifique 14 com 7: \( \dfrac{6}{\cancel{7}\,\,\color{#111827}{\mathbf{1}}}\times\dfrac{\cancel{14}\,\,\color{#111827}{\mathbf{2}}}{15} \).
Resultado final após simplificações: \( \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \).
b) Entre frações e números inteiros
Escreva o inteiro como fração de denominador 1.
5.4 Divisão de frações
a) Inverso multiplicativo
Para dividir por uma fração, multiplique pelo seu inverso multiplicativo (troque numerador por denominador).
b) Divisão por frações unitárias e gerais
Frações unitárias têm numerador 1. Dividir por \( \dfrac{1}{n} \) é o mesmo que multiplicar por \( n \). Para frações gerais, use o inverso.
Geral: \( \dfrac{3}{5} \div \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}. \)
Boas práticas
- Simplifique antes e/ou depois das operações para evitar números grandes.
- Em somas/subtrações, sempre traga para denominadores comuns.
- Na divisão, transforme em multiplicação pelo inverso multiplicativo.
- Converta para número misto quando isso facilitar a interpretação do resultado.
Conversões Entre Formas
Fração ⇄ Decimal ⇄ Porcentagem — passos práticos e exemplos resolvidos.
Converter números entre frações, decimais e porcentagens é essencial para resolver problemas, interpretar dados e comparar quantidades. Nesta seção, você verá os procedimentos mais usados, com exemplos passo a passo. Ao final, uma observação importante sobre números irracionais e por que alguns decimais não podem ser escritos como frações simples.
6.1 Fração → número decimal
Para transformar \( \frac{a}{b} \) em decimal, divida \( a \) por \( b \).
- Se possível, simplifique a fração antes.
- Execute a divisão (exata ou aproximada).
\( \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \) (divisão exata).
\( \dfrac{7}{8} = 0{,}875 \).
\( \dfrac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \) (dízima periódica).
Observação: decimais que terminam ou possuem período (repetição) são racionais e, portanto, vêm de frações. Já decimais que não terminam e não repetem são irracionais (como \( \pi \) e \( \sqrt{2} \)) e não podem ser escritos como fração de inteiros.
6.2 Decimal → fração
Para transformar um decimal finito em fração, conte as casas decimais e use uma potência de 10.
- Escreva o número sem vírgula como numerador.
- Use como denominador \( 10, 100, 1000, \ldots \) conforme as casas decimais.
- Simplifique a fração, se possível.
\( 0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \).
\( 1{,}25 = \dfrac{125}{100} = \dfrac{5}{4} \).
Para dízimas periódicas, use o método algébrico: defina \( x \) como o decimal, desloque a vírgula pela potência de 10 que encerra o período, subtraia e isole \( x \).
\( x = 0{,}\overline{36} \Rightarrow 100x = 36{,}\overline{36} \).
\( 100x – x = 36{,}\overline{36} – 0{,}\overline{36} \Rightarrow 99x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}. \)
6.3 Fração → porcentagem
Multiplique a fração por 100%.
- Calcule \( \dfrac{a}{b} \times 100\% \).
- Se preferir, converta antes para decimal e, então, multiplique por 100.
\( \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\% \).
\( \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\% \).
\( \dfrac{7}{8} = 0{,}875 = 87{,}5\% \).
6.4 Porcentagem → fração
Escreva a porcentagem sobre 100 e simplifique.
- Converta \( p\% \) em \( \dfrac{p}{100} \).
- Simplifique a fração.
\( 12{,}5\% = \dfrac{12{,}5}{100} = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8} \).
\( 40\% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} \).
\( 250\% = \dfrac{250}{100} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} \).
Dicas de prova e boas práticas
- Em cálculos percentuais, converter para fração costuma simplificar problemas de razão e proporção.
- Para comparação rápida, a forma decimal ajuda a ordenar valores.
- Para exatidão, prefira frações a decimais aproximados (evita erros de arredondamento).
Frações Algébricas
Definição, simplificação por fatoração e operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), com exemplos resolvidos.
Frações algébricas estendem a ideia de frações numéricas para expressões com variáveis. Dominar suas regras é essencial para álgebra, funções e cálculo. Ao final, indicamos materiais para revisão por mapas mentais e prática intensiva.
1) Definição e exemplos
Chamamos de fração algébrica qualquer expressão do tipo \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), em que \(P\) e \(Q\) são polinômios (ou expressões algébricas) e \(Q(x)\neq 0\) no domínio considerado.
\( \dfrac{x+2}{x-3} \) (com restrição \(x\neq 3\)).
\( \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} \) (com restrições \(x\neq 0\) e \(x\neq 3\)).
\( \dfrac{2}{x^2+1} \) (sem raízes reais no denominador, mas ainda \(x\in\mathbb{R}\)).
Atenção ao domínio: sempre exclua os valores que anulam o denominador. Mesmo após simplificar, as restrições originais permanecem válidas.
2) Simplificação de frações algébricas
O caminho padrão é fatorar numerador e denominador e, em seguida, cancelar fatores comuns (nunca termos somados isoladamente):
- Fatore \(P(x)\) e \(Q(x)\) (diferença de quadrados, trinômio, fator comum, etc.).
- Cancele fatores iguais que multiplicam o numerador e o denominador.
- Declare as restrições do domínio.
Fatora: \( \dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} \).
Cancela \(x-3\): \( \dfrac{x+3}{x} \).
Restrições: \(x\neq 0\) e \(x\neq 3\).
Restrições: \(x\neq 0,\,1\).
Erro comum: não é permitido “cancelar” partes de uma soma. Por exemplo, em \( \dfrac{x+2}{x-3} \) não podemos cortar os \(x\) porque eles não são fatores comuns; estão somando/subtraindo.
3) Operações com frações algébricas
3.1 Adição e Subtração
Como em frações numéricas, some/subtraia com denominador comum (use mmc de polinômios quando necessário):
\( \dfrac{2x}{x-1} + \dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2x+3}{x-1} \), com \(x\neq 1\).
\( \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{1}{x-2} \).
Denominador comum: \((x+2)(x-2)=x^2-4\).
\( \dfrac{x(x-2)+1(x+2)}{x^2-4} = \dfrac{x^2-2x+x+2}{x^2-4} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-4} \).
Restrições: \(x\neq -2,\,2\).
\( \dfrac{3}{x+1} – \dfrac{2}{x-1} = \dfrac{3(x-1) – 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{3x-3-2x-2}{x^2-1} = \dfrac{x-5}{x^2-1} \).
Restrições: \(x\neq -1,\,1\).
3.2 Multiplicação
Multiplique numeradores e denominadores e simplifique por fatores antes de efetuar o produto final, quando possível.
Restrições: \(x\neq -1,\,1\).
3.3 Divisão
Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso (troque numerador por denominador) e, em seguida, simplificar.
Restrições: \(x\neq -2,\,2\).
4) Boas práticas e dicas rápidas
- Fatore sempre antes de somar, multiplicar ou dividir; isso revela cancelamentos lícitos.
- Domínio primeiro: anote as restrições do denominador e mantenha-as após simplificar.
- Não cancele somas: só cancele fatores comuns que multiplicam todo o numerador e todo o denominador.
- Revise identidades: diferença de quadrados \((a^2-b^2)=(a-b)(a+b)\), trinômios notáveis, fator comum em evidência.
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