Função do Segundo Grau: Concavidade, Coeficientes e Gráfico

A função do segundo grau, também chamada de função quadrática, descreve uma parábola no plano cartesiano e aparece com frequência no ENEM, vestibulares e concursos. Este guia visual explica o papel dos coeficientes a, b e c e inclui exercícios com soluções.

Forma geral

$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0 \quad (a,b,c \in \mathbb{R}) $$

Função do segundo grau com concavidade, eixo y no ponto (0,c) e efeito do coeficiente b

📘 Coeficientes e efeitos no gráfico

Coeficiente a: determina a concavidade da parábola.
- Se $a>0$: parábola voltada para cima.
- Se $a<0$: parábola voltada para baixo.
Coeficiente b: desloca o vértice horizontalmente (inclinação do eixo de simetria).
- $b>0$ → vértice desloca à esquerda do eixo y.
- $b=0$ → vértice sobre o eixo y.
- $b<0$ → vértice desloca à direita.
Coeficiente c: intersecção com o eixo y: $$ f(0) = c \Rightarrow (0,c). $$

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🧠 Exemplos rápidos

Exemplo A. $f(x)=2x^2-4x+1$.
$a=2 \Rightarrow$ concavidade para cima; $b=-4\Rightarrow$ vértice à direita;
$c=1 \Rightarrow (0,1)$ no eixo y.

Exemplo B. $f(x)=-x^2+3x+2$.
$a=-1 \Rightarrow$ concavidade para baixo; $b=3\Rightarrow$ vértice à esquerda;
$c=2 \Rightarrow (0,2)$ no eixo y.

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📝 Exercícios sobre Função do Segundo Grau

Com gabarito e solução passo a passo

1) (Múltipla escolha) Para $f(x)=ax^2+bx+c$, a parábola é voltada para cima quando:

A) $a<0$ B) $a=0$ C) $a>0$ D) $b>0$

👀 Ver solução

A concavidade depende apenas do sinal de $a$.

Se $a>0$ então a parábola é côncava para cima. Alternativa C.

2) (Múltipla escolha) O ponto de intersecção com o eixo y da função $f(x)=3x^2-2x+5$ é:

A) $(0,-2)$ B) $(0,3)$ C) $(0,5)$ D) $(3,0)$

👀 Ver solução

Basta calcular $f(0)$:
$f(0)=3\cdot0^2 -2\cdot0 + 5$ = 0 + 0 + 5 = 5.

Logo o ponto é $(0,5)$. Alternativa C.

3) (Múltipla escolha) Em $f(x)=x^2+bx+1$, quando $b=0$ o vértice fica:

A) à esquerda do eixo y B) sobre o eixo y C) à direita do eixo y D) fora do plano

👀 Ver solução

Para $b=0$, o eixo de simetria é $x=-\frac{b}{2a}=0$, ou seja, sobre o eixo y.

Alternativa B.

4) Determine o ponto onde $g(x)=-2x^2+4x-3$ corta o eixo y.

👀 Ver solução passo a passo

Substitua $x=0$:
$g(0)=-2\cdot0^2+4\cdot0-3$
$= 0 + 0 – 3$
$= -3$.

Logo, o ponto é (0, -3).

5) Para $h(x)=2x^2+bx+9$, sabe-se que o vértice está à direita do eixo y. O que se pode afirmar sobre $b$?

👀 Ver solução passo a passo

O eixo de simetria é $x_v=-\dfrac{b}{2a}$.
Como o vértice está à direita do eixo y, então $x_v>0$.
$x_v>0 \Rightarrow -\dfrac{b}{2a}>0$. Como $a=2>0$, temos $-b>0 \Rightarrow b<0$.

Logo, b é negativo.

6) (Múltipla escolha) Considere $p(x)= -x^2 – 6x + 1$. A concavidade e o deslocamento do vértice são, respectivamente:

A) para cima; vértice à direita
B) para baixo; vértice à esquerda
C) para baixo; vértice sobre o eixo y
D) para cima; vértice à esquerda

👀 Ver solução

$a=-1<0\Rightarrow$ concavidade para baixo.
$b=-6<0\Rightarrow$ vértice desloca-se para a direita? Não: lembre que $b<0$ → vértice à direita. Ops, vamos checar pelo eixo de simetria:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=\dfrac{6}{-2}=-3$ (negativo → à esquerda do eixo y).

Logo: para baixo; vértice à esquerda. Alternativa B.

7) Encontre $c$ sabendo que a parábola de $f(x)=x^2-2x+c$ passa pelo ponto $(1,4)$.

👀 Ver solução passo a passo

Se $(1,4)$ está no gráfico, então $f(1)=4$.
$f(1)=1^2-2\cdot1+c$
$=1-2+c$
$= -1 + c$.

Igualando: $-1+c = 4 \Rightarrow c = 5$.

Gabarito (múltipla escolha): 1) C 2) C 3) B 6) B