Questão 1. (UFMS) Um retângulo inicial, de perímetro 200 centímetros, sofre uma modificação tal que a medida de sua largura aumenta 20%, e a medida do seu comprimento diminui 20%. Determine a função que define a área \( A \) do novo retângulo, em centímetros quadrados, em relação à medida da largura do retângulo inicial \( x \), em centímetros.
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos a função que define a área do novo retângulo após modificações em sua largura e comprimento, mantendo o perímetro total de 200 cm. A variável \( x \) representa a largura original.
1) Expressando o comprimento inicial:
Sabemos que o perímetro é:
$$ P = 2 \cdot (x + c) = 200 $$
Logo:
$$ x + c = 100 \Rightarrow c = 100 – x $$
2) Aplicando as alterações:
- Largura aumentada em 20%: \( x_{\text{nova}} = 1{,}2x \)
- Comprimento diminuído em 20%: \( c_{\text{novo}} = 0{,}8(100 – x) \)
3) Área do novo retângulo:
Multiplicamos largura nova por comprimento novo:
$$ A(x) = 1{,}2x \cdot 0{,}8(100 – x) $$
$$ A(x) = 0{,}96x(100 – x) $$
$$ A(x) = 96x – 0{,}96x^2 $$
✅ Conclusão:
- Função da área: $$ A(x) = 96x – 0{,}96x^2 $$
- Alternativa correta: e)
