Questão 1. A trajetória de uma bola de futebol em uma cobrança de falta foi descrita por uma função quadrática que relaciona a altura \( h \) alcançada pela bola (em metros), em relação ao solo, e o deslocamento horizontal \( x \) da bola (em metros). Essa função é dada por:
$$ h(x) = -\frac{x^2}{60} + 0{,}5x $$
a) Qual é a distância entre o ponto em que a bola sai do solo e o ponto em que a bola toca novamente o solo?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola nessa trajetória?
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🔎 Entendendo o enunciado:
Estamos lidando com uma função quadrática que representa uma parábola voltada para baixo. Precisamos encontrar:
- As raízes da função para saber onde a bola toca o solo.
- O valor máximo da função para descobrir a altura máxima atingida.
1) Encontrar os valores de \( x \) para \( h(x) = 0 \):
$$ h(x) = -\frac{x^2}{60} + 0{,}5x $$
$$ -\frac{x^2}{60} + 0{,}5x = 0 $$
$$ x \left( -\frac{x}{60} + 0{,}5 \right) = 0 $$
$$ x = 0 \quad \text{ou} \quad -\frac{x}{60} + 0{,}5 = 0 $$
$$ \frac{x}{60} = 0{,}5 $$
$$ x = 30 $$
Distância entre os pontos: 30 metros
2) Calcular a altura máxima (vértice da parábola):
$$ x_v = -\frac{b}{2a} $$
$$ a = -\frac{1}{60}, \quad b = 0{,}5 $$
$$ x_v = -\frac{0{,}5}{2 \cdot \left(-\frac{1}{60}\right)} $$
$$ x_v = \frac{0{,}5}{\frac{2}{60}} $$
$$ x_v = \frac{0{,}5 \cdot 60}{2} $$
$$ x_v = \frac{30}{2} = 15 $$
Substituindo em \( h(x) \):
$$ h(15) = -\frac{15^2}{60} + 0{,}5 \cdot 15 $$
$$ h(15) = -\frac{225}{60} + 7{,}5 $$
$$ h(15) = -3{,}75 + 7{,}5 $$
$$ h(15) = 3{,}75 $$
✅ Conclusão:
- a) Distância total: $$30\ \text{metros}$$
- b) Altura máxima: $$3{,}75\ \text{metros}$$
