Questão 8. (Udesc) A função quadrática cujo gráfico contém os pontos (0, −9), (1, 0) e (2, 15) tem vértice em:
- a) (−2, −13)
- b) (1, 0)
- c) (0, −9)
- d) (2, 15)
- e) (−1, −12)
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🔎 Etapa 1: Substituindo os pontos na função \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Para o ponto \( (0, -9) \):
$$ f(0) = c = -9 $$
Para o ponto \( (1, 0) \):
$$ f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 $$
$$ a + b – 9 = 0 \Rightarrow a + b = 9 \tag{1} $$
Para o ponto \( (2, 15) \):
$$ f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 15 $$
$$ 4a + 2b – 9 = 15 \Rightarrow 4a + 2b = 24 $$
$$ 2a + b = 12 \tag{2} $$
🔎 Etapa 2: Resolvendo o sistema
Equações:
(1) \( a + b = 9 \)
(2) \( 2a + b = 12 \)
Subtraindo (2) − (1):
$$ 2a + b – (a + b) = 12 – 9 $$
$$ a = 3 $$
Substituindo em (1):
$$ 3 + b = 9 \Rightarrow b = 6 $$
Como \( c = -9 \), temos:
$$ f(x) = 3x^2 + 6x – 9 $$
🔎 Etapa 3: Determinando o vértice
Coordenada x do vértice:
$$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 3} = -1 $$
Coordenada y do vértice:
$$ f(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) – 9 = 3 – 6 – 9 = -12 $$
✅ Conclusão:
- Coordenadas do vértice: \( (-1, -12) \)
- Alternativa correta: e)
