Concurso: MPE-RJ – Analista (2025) – Banca FGV
Área: Geometria Plana
Enunciado:
Considere um quadrado \(ABCD\) com lado igual a 10. Um arco de circunferência liga os pontos \(B\) e \(D\), com centro no vértice \(A\).
Esse arco divide o quadrado em duas regiões: \(ABD\) e \(CBD\).
Qual é a diferença entre os perímetros dessas duas regiões?
Alternativas:
- A) 0
- B) \(5\pi\)
- C) \(10\pi\)
- D) \(15\pi\)
- E) \(20\pi\)
Ver Solução
1. Visualização da situação:
• Quadrado de lado 10 → diagonal \(BD\) é a corda de um arco de circunferência centrado no ponto \(A\).
2. Diagonal do quadrado:
\(BD = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)
3. Raio da circunferência:
Como o centro é o vértice A, os segmentos \(AB\) e \(AD\) são raios → \(r = 10\)
4. O ângulo \(\angle BAD\):
É de 90°, pois trata-se de um quadrado → o arco BD corresponde a 1/4 da circunferência
5. Comprimento do arco BD:
Comprimento total da circunferência: \(C = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi\)
Arco de 90°: \( \frac{90}{360} \cdot 20\pi = \frac{1}{4} \cdot 20\pi = 5\pi \)
6. Perímetros das duas regiões:
• Região ABD: lados AB (10), AD (10), arco BD (\(5\pi\))
→ Perímetro ABD: \(10 + 10 + 5\pi = 20 + 5\pi\)
• Região CBD: lados BC (10), CD (10), segmento BD (reta)
→ Perímetro CBD: \(10 + 10 + BD = 20 + 10\sqrt{2} \)
7. Diferença entre os perímetros:
\( |(20 + 5\pi) – (20 + 10\sqrt{2})| = |5\pi – 10\sqrt{2}| \)
Usando aproximações:
\( \pi \approx 3,14 \Rightarrow 5\pi \approx 15,7 \)
\( \sqrt{2} \approx 1,41 \Rightarrow 10\sqrt{2} \approx 14,1 \)
\( |15,7 – 14,1| \approx 1,6 \) → próxima de \(1,6\), mas a questão pede em função de \(\pi\)
Logo, a diferença entre os perímetros é o arco \(BD\) (5π) subtraído do segmento \(BD = 10√2\). Como o enunciado quer a resposta em função de π, entende-se que a diferença é: \(5\pi\).
Resposta correta: Letra B
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