Imagem de Funções Quadráticas – Análise do vértice

🔎 Entendendo o enunciado:

Para encontrar o conjunto imagem de uma função quadrática, analisamos a concavidade da parábola e o valor do vértice (mínimo ou máximo da função).

1) Analisando a função \( f(x) = 3x^2 – 2x – 1 \)

Coeficientes: \( a = 3,\ b = -2,\ c = -1 \)

Como \( a > 0 \), a parábola tem concavidade voltada para cima → possui valor mínimo.

Calculando o vértice:

$$ x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Substituindo em \( f(x) \):

$$ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 2 \cdot \frac{1}{3} – 1 $$

$$ = 3 \cdot \frac{1}{9} – \frac{2}{3} – 1 = \frac{1}{3} – \frac{2}{3} – 1 = -\frac{1}{3} – 1 = -\frac{4}{3} $$

Imagem: \( \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq -\frac{4}{3} \} \)

2) Analisando a função \( g(x) = -2x^2 + 1 \)

Coeficientes: \( a = -2,\ b = 0,\ c = 1 \)

Como \( a < 0 \), a parábola tem concavidade voltada para baixo → possui valor máximo.

$$ x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0 $$

$$ g(0) = -2 \cdot 0^2 + 1 = 1 $$

Imagem: \( \text{Im}(g) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \leq 1 \} \)

✅ Conclusão:

• Função f(x): $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq -\frac{4}{3} \} $$
• Função g(x): $$ \text{Im}(g) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \leq 1 \} $$