ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 37 — Álgebra Linear
Considere \( A \in M_3(\mathbb{R}) \) tal que existe um único número real \( x \) que satisfaça a equação:
\[
\det\left( \sqrt[3]{\sqrt{2}\, x^2} \cdot A \right) + \det(xA^3) = \det(A^2)
\]
Então, \( x + \det A \) é:
a) \(-5\) b) \(-4\) c) \(-3\) d) \(-2\) e) \(-1\)
a) \(-5\) b) \(-4\) c) \(-3\) d) \(-2\) e) \(-1\)
👀 Solução passo a passo
1) Sejam \(A\) matrizes quadradas de ordem \(3\) e \(\det A \neq 0\).
2) Temos: \[ \det(xA) = x^3 \cdot \det A \]3) Para potências: \[ \det(A^n) = (\det A)^n \]4) Aplicando: \[ \det\left( \sqrt[3]{\sqrt{2}\, x^2} \cdot A \right) + \det(xA^3) = \det(A^2) \] \[ (\sqrt[3]{\sqrt{2}\, x^2})^3 \cdot \det A + x^3 \cdot (\det A)^3 – (\det A)^2 = 0 \] \[ 2x^6 \cdot \det A + x^3 \cdot (\det A)^3 – (\det A)^2 = 0 \]5) Como existe um único \(x\) real: \[ (\det A)^2 + 2\det A \cdot x^3 – (\det A)^2 = 0 \] \[ \det A^6 + 8 \det A^3 = 0 \] \[ \det A (\det A^3 + 8) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det A = -2 \]6) Substituindo: \[ 2x^6 – 8x^3 – 4 = 0 \] \[ (x^3)^2 – 2(x^3) – 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]
2) Temos: \[ \det(xA) = x^3 \cdot \det A \]3) Para potências: \[ \det(A^n) = (\det A)^n \]4) Aplicando: \[ \det\left( \sqrt[3]{\sqrt{2}\, x^2} \cdot A \right) + \det(xA^3) = \det(A^2) \] \[ (\sqrt[3]{\sqrt{2}\, x^2})^3 \cdot \det A + x^3 \cdot (\det A)^3 – (\det A)^2 = 0 \] \[ 2x^6 \cdot \det A + x^3 \cdot (\det A)^3 – (\det A)^2 = 0 \]5) Como existe um único \(x\) real: \[ (\det A)^2 + 2\det A \cdot x^3 – (\det A)^2 = 0 \] \[ \det A^6 + 8 \det A^3 = 0 \] \[ \det A (\det A^3 + 8) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det A = -2 \]6) Substituindo: \[ 2x^6 – 8x^3 – 4 = 0 \] \[ (x^3)^2 – 2(x^3) – 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]
Resposta: \( -3 \) (Alternativa C)
