ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 40 — Média Harmônica
A média harmônica de \(n\) números reais positivos \(a_1, a_2, \dots, a_n\) é:
\[ H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} \]
Sabendo que o polinômio \(p(x) = 30x^3 – 113x^2 + 108x – 30\) possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de \(p(x)\) é:
a) \(\frac{2}{3}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{5}{6}\) d) 1 e) 3
\[ H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} \]
Sabendo que o polinômio \(p(x) = 30x^3 – 113x^2 + 108x – 30\) possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de \(p(x)\) é:
a) \(\frac{2}{3}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{5}{6}\) d) 1 e) 3
👀 Solução passo a passo
1. Identificação das raízes pela relação de Viète:
Seja \(x_1, x_2, x_3\) as raízes de \(p(x)\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-113}{30} = \frac{113}{30} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{108}{30} = \frac{18}{5} \\ x_1x_2x_3 = -\frac{-30}{30} = 1 \end{cases} \]2. Fórmula da média harmônica:
\[ H = \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}} \] Mas: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = \frac{\frac{18}{5}}{1} = \frac{18}{5} \]3. Cálculo final:
\[ H = \frac{3}{\frac{18}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{18} = \frac{5}{6} \]
Seja \(x_1, x_2, x_3\) as raízes de \(p(x)\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-113}{30} = \frac{113}{30} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{108}{30} = \frac{18}{5} \\ x_1x_2x_3 = -\frac{-30}{30} = 1 \end{cases} \]2. Fórmula da média harmônica:
\[ H = \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}} \] Mas: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = \frac{\frac{18}{5}}{1} = \frac{18}{5} \]3. Cálculo final:
\[ H = \frac{3}{\frac{18}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{18} = \frac{5}{6} \]
Resposta: \(\frac{5}{6}\) — Alternativa **C**
