ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 45 — Probabilidade
Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em cara
são retiradas e as demais permanecem para o próximo lançamento.
O jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas.
Qual a probabilidade de o jogo durar mais de três rodadas, se é iniciado com quatro moedas?
a) \( \dfrac{1341}{4096} \) b) \( \dfrac{1695}{4096} \) c) \( \dfrac{2049}{4096} \) d) \( \dfrac{2401}{4096} \) e) \( \dfrac{2755}{4096} \)
a) \( \dfrac{1341}{4096} \) b) \( \dfrac{1695}{4096} \) c) \( \dfrac{2049}{4096} \) d) \( \dfrac{2401}{4096} \) e) \( \dfrac{2755}{4096} \)
👀 Solução passo a passo
1) Permanecer até a 4ª rodada:
Para uma moeda estar presente na 4ª rodada, ela não pode ser retirada nas três primeiras, isto é, deve cair coroa três vezes seguidas. \[ \mathbb{P}(\text{ficar 3 rodadas})=\left(\frac12\right)^3=\frac{1}{8}. \] Logo, a probabilidade de uma moeda ser retirada até a 3ª é \[ 1-\frac18=\frac78. \]2) Existir 4ª rodada:
Haverá 4ª rodada se ao menos uma moeda sobreviver às três primeiras. Com quatro moedas independentes: \[ \mathbb{P}(\text{todas retiradas até a 3ª})=\left(\frac78\right)^4=\frac{2401}{4096}. \] Assim, \[ \mathbb{P}(\text{durar > 3 rodadas}) =1-\left(\frac78\right)^4 =1-\frac{2401}{4096} =\frac{1695}{4096}. \]
Para uma moeda estar presente na 4ª rodada, ela não pode ser retirada nas três primeiras, isto é, deve cair coroa três vezes seguidas. \[ \mathbb{P}(\text{ficar 3 rodadas})=\left(\frac12\right)^3=\frac{1}{8}. \] Logo, a probabilidade de uma moeda ser retirada até a 3ª é \[ 1-\frac18=\frac78. \]2) Existir 4ª rodada:
Haverá 4ª rodada se ao menos uma moeda sobreviver às três primeiras. Com quatro moedas independentes: \[ \mathbb{P}(\text{todas retiradas até a 3ª})=\left(\frac78\right)^4=\frac{2401}{4096}. \] Assim, \[ \mathbb{P}(\text{durar > 3 rodadas}) =1-\left(\frac78\right)^4 =1-\frac{2401}{4096} =\frac{1695}{4096}. \]
Resposta: \( \dfrac{1695}{4096} \) — Alternativa B
