ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 47 — Geometria Analítica
Considere o triângulo de vértices \(A=(0,0)\), \(B=(\sqrt{2},\sqrt{3})\) e \(C=\!\left(\tfrac{5}{2}\sqrt{2},0\right)\).
A equação da reta que passa por \(B\) e é perpendicular à bissetriz do ângulo \(\widehat{ABC}\) é:
a) \(y=(5-2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}-5\sqrt{2}\).
b) \(y=(5-2\sqrt{6})x+3\sqrt{5}-5\sqrt{2}\).
c) \(y=(5-2\sqrt{6})x+3\sqrt{5}+5\sqrt{2}\).
d) \(y=-(5+2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}+5\sqrt{2}\).
e) \(y=-(5+2\sqrt{6})x-3\sqrt{5}+5\sqrt{2}\).
a) \(y=(5-2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}-5\sqrt{2}\).
b) \(y=(5-2\sqrt{6})x+3\sqrt{5}-5\sqrt{2}\).
c) \(y=(5-2\sqrt{6})x+3\sqrt{5}+5\sqrt{2}\).
d) \(y=-(5+2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}+5\sqrt{2}\).
e) \(y=-(5+2\sqrt{6})x-3\sqrt{5}+5\sqrt{2}\).
👀 Solução Passo a Passo
1) Verifique que \(\triangle ABC\) é retângulo em \(B\):
\[ AB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{5},\quad BC=\sqrt{\Big(\tfrac{5}{2}\sqrt{2}-\sqrt{2}\Big)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{\tfrac{15}{2}}, \] \[ AC=\tfrac{5}{2}\sqrt{2},\quad AB^2+BC^2=5+\tfrac{15}{2}=\tfrac{25}{2}=AC^2. \] Logo, o ângulo \(\widehat{ABC}\) mede \(90^\circ\).
2) Direção da bissetriz e da perpendicular procurada:
Seja \(\alpha\) o ângulo que \( \overline{BA} \) faz com o eixo \(x\). \[ \tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \] A bissetriz do ângulo reto em \(B\) faz com o eixo \(x\) o ângulo \(\alpha+45^\circ\). A reta pedida, perpendicular à bissetriz, terá coeficiente angular \[ m=-\frac{1}{\tan(\alpha+45^\circ)} = -\frac{1}{\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}} = \frac{\tan\alpha-1}{\tan\alpha+1}. \] Com \(\tan\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2}\): \[ m=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}-1}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1} =\frac{(\frac{5}{2}-\sqrt{6})}{\frac{1}{2}} = 5-2\sqrt{6}. \]
3) Equação pelo ponto \(B(\sqrt{2},\sqrt{3})\):
\[ y-\sqrt{3}=m(x-\sqrt{2})\quad\Rightarrow\quad y=(5-2\sqrt{6})x+\underbrace{\big(\sqrt{3}-(5-2\sqrt{6})\sqrt{2}\big)}_{=\,5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}. \] Portanto, \[ \boxed{\,y=(5-2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}-5\sqrt{2}\,}. \]
\[ AB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{5},\quad BC=\sqrt{\Big(\tfrac{5}{2}\sqrt{2}-\sqrt{2}\Big)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{\tfrac{15}{2}}, \] \[ AC=\tfrac{5}{2}\sqrt{2},\quad AB^2+BC^2=5+\tfrac{15}{2}=\tfrac{25}{2}=AC^2. \] Logo, o ângulo \(\widehat{ABC}\) mede \(90^\circ\).
2) Direção da bissetriz e da perpendicular procurada:
Seja \(\alpha\) o ângulo que \( \overline{BA} \) faz com o eixo \(x\). \[ \tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \] A bissetriz do ângulo reto em \(B\) faz com o eixo \(x\) o ângulo \(\alpha+45^\circ\). A reta pedida, perpendicular à bissetriz, terá coeficiente angular \[ m=-\frac{1}{\tan(\alpha+45^\circ)} = -\frac{1}{\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}} = \frac{\tan\alpha-1}{\tan\alpha+1}. \] Com \(\tan\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2}\): \[ m=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}-1}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1} =\frac{(\frac{5}{2}-\sqrt{6})}{\frac{1}{2}} = 5-2\sqrt{6}. \]
3) Equação pelo ponto \(B(\sqrt{2},\sqrt{3})\):
\[ y-\sqrt{3}=m(x-\sqrt{2})\quad\Rightarrow\quad y=(5-2\sqrt{6})x+\underbrace{\big(\sqrt{3}-(5-2\sqrt{6})\sqrt{2}\big)}_{=\,5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}. \] Portanto, \[ \boxed{\,y=(5-2\sqrt{6})x+5\sqrt{3}-5\sqrt{2}\,}. \]
Resposta: a)
