ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 05 — Polinômios
Encontre as raízes do polinômio:
\[
p(x) = x^4 – 4x^3 + 9x^2 – 10x – 14
\]
sabendo que vale a relação:
\[
p(1+x) = p(1-x), \quad \forall x \in \mathbb{C}.
\]
👀 Solução passo a passo
1) Simetria do polinômio:
Da condição \(p(1+x) = p(1-x)\), as raízes assumem a forma: \[ 1+a,\; 1-a,\; 1+b,\; 1-b. \] 2) Relações de Girard:
Pela soma das raízes: \[ (1+a) + (1-a) + (1+b) + (1-b) = 4 = -\frac{a_3}{a_4} = 4 \quad \checkmark \] Pela soma dos produtos dois a dois: \[ (1+a)(1-a) + (1+a)(1+b) + (1+a)(1-b) + (1-a)(1+b) + (1-a)(1-b) + (1+b)(1-b) = 5. \] Logo: \[ 1-a^2 + 1+ b + 1 – b + \dots \quad \Rightarrow \quad 1 – a^2 + 1 – b^2 = 5. \] 3) Relações finais:
Seja \(\alpha = 1 – a^2\) e \(\beta = 1 – b^2\). Então: \[ \begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha \beta = -14 \end{cases} \] Resolvendo: \[ \alpha, \beta = 7, -2. \] 4) Encontrando \(a\) e \(b\):
Se \(1 – a^2 = 7\), então \(a = \pm \sqrt{6}i\).
Se \(1 – b^2 = -2\), então \(b = \pm \sqrt{3}\). 5) Raízes finais:
\[ \boxed{1+\sqrt{6}i,\; 1-\sqrt{6}i,\; 1+\sqrt{3},\; 1-\sqrt{3}} \]
Da condição \(p(1+x) = p(1-x)\), as raízes assumem a forma: \[ 1+a,\; 1-a,\; 1+b,\; 1-b. \] 2) Relações de Girard:
Pela soma das raízes: \[ (1+a) + (1-a) + (1+b) + (1-b) = 4 = -\frac{a_3}{a_4} = 4 \quad \checkmark \] Pela soma dos produtos dois a dois: \[ (1+a)(1-a) + (1+a)(1+b) + (1+a)(1-b) + (1-a)(1+b) + (1-a)(1-b) + (1+b)(1-b) = 5. \] Logo: \[ 1-a^2 + 1+ b + 1 – b + \dots \quad \Rightarrow \quad 1 – a^2 + 1 – b^2 = 5. \] 3) Relações finais:
Seja \(\alpha = 1 – a^2\) e \(\beta = 1 – b^2\). Então: \[ \begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha \beta = -14 \end{cases} \] Resolvendo: \[ \alpha, \beta = 7, -2. \] 4) Encontrando \(a\) e \(b\):
Se \(1 – a^2 = 7\), então \(a = \pm \sqrt{6}i\).
Se \(1 – b^2 = -2\), então \(b = \pm \sqrt{3}\). 5) Raízes finais:
\[ \boxed{1+\sqrt{6}i,\; 1-\sqrt{6}i,\; 1+\sqrt{3},\; 1-\sqrt{3}} \]
Resposta: \(1+\sqrt{6}i,\; 1-\sqrt{6}i,\; 1+\sqrt{3},\; 1-\sqrt{3}\)
