ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 07 — Geometria Analítica
Determine a equação da circunferência de maior raio que é tangente ao eixo \(y\) e passa pelos pontos \((1, 4)\) e \((3, 6)\).
👀 Solução passo a passo
I) Centro da circunferência:
Seja \(C(a; b)\) o centro da circunferência que passa pelos pontos \(A(1;4)\) e \(B(3;6)\): \[ (a – 1)^2 + (b – 4)^2 = (a – 3)^2 + (b – 6)^2 \] \[ (a^2 – 2a + 1) + (b^2 – 8b + 16) = (a^2 – 6a + 9) + (b^2 – 12b + 36) \] \[ 4a + 4b = 28 \quad \Rightarrow \quad a = 7 – b \] II) Condição de tangência ao eixo \(y\):
O raio é igual a \(a\): \[ \sqrt{(a – 1)^2 + (b – 4)^2} = a \] Substituindo \(a = 7 – b\): \[ b^2 – 8b + 17 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 3 \pm \sqrt{6} \] III) Escolha do maior raio:
Se \(b = 3 – \sqrt{6}\), então \(a = 4 + \sqrt{6}\) (maior raio). IV) Centro e raio:
Centro \(C(4 + \sqrt{6}, \; 3 – \sqrt{6})\) e \(R = 4 + \sqrt{6}\). V) Equação da circunferência:
\[ (x – 4 – \sqrt{6})^2 + (y – 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2 \] \[ (x – 4 – \sqrt{6})^2 + (y – 3 + \sqrt{6})^2 = 22 + 8\sqrt{6} \]
Seja \(C(a; b)\) o centro da circunferência que passa pelos pontos \(A(1;4)\) e \(B(3;6)\): \[ (a – 1)^2 + (b – 4)^2 = (a – 3)^2 + (b – 6)^2 \] \[ (a^2 – 2a + 1) + (b^2 – 8b + 16) = (a^2 – 6a + 9) + (b^2 – 12b + 36) \] \[ 4a + 4b = 28 \quad \Rightarrow \quad a = 7 – b \] II) Condição de tangência ao eixo \(y\):
O raio é igual a \(a\): \[ \sqrt{(a – 1)^2 + (b – 4)^2} = a \] Substituindo \(a = 7 – b\): \[ b^2 – 8b + 17 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 3 \pm \sqrt{6} \] III) Escolha do maior raio:
Se \(b = 3 – \sqrt{6}\), então \(a = 4 + \sqrt{6}\) (maior raio). IV) Centro e raio:
Centro \(C(4 + \sqrt{6}, \; 3 – \sqrt{6})\) e \(R = 4 + \sqrt{6}\). V) Equação da circunferência:
\[ (x – 4 – \sqrt{6})^2 + (y – 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2 \] \[ (x – 4 – \sqrt{6})^2 + (y – 3 + \sqrt{6})^2 = 22 + 8\sqrt{6} \]
Resposta: \((x – 4 – \sqrt{6})^2 + (y – 3 + \sqrt{6})^2 = 22 + 8\sqrt{6}\)
