ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 08 — Geometria Analítica
Considere a parábola de equação \(y = 4x – x^2\) com vértice no ponto \(V\).
Seja \(T\) o trapézio \(PABV\), onde \(P = (0,0)\), \(A\) é um ponto com abscissa no intervalo \([2,4]\) e ordenada nula, e \(B\) é um ponto na parábola com ordenada positiva.
Sabendo que \(m(AB) = \frac{7}{8} \sqrt{5}\), determine a área de \(T\).
👀 Solução passo a passo
I) Relação entre \(x_B\) e \(y_B\):
Como \(PV\) é paralelo a \(AB\): \[ \frac{y_B – 0}{x_B – x_A} = \frac{4 – 0}{2 – 0} = 2 \] \[ x_B – x_A = \frac{y_B}{2} \]II) Distância \(AB\):
\[ \sqrt{(x_B – x_A)^2 + y_B^2} = \frac{7}{8} \sqrt{5} \] Substituindo \(x_B – x_A = \frac{y_B}{2}\): \[ \sqrt{\frac{y_B^2}{4} + y_B^2} = \frac{7}{8} \sqrt{5} \] \[ \frac{\sqrt{5}}{2} y_B = \frac{7}{8} \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad y_B = \frac{7}{4} \]III) Coordenadas de \(B\):
Como \(B\) está na parábola: \[ \frac{7}{4} = 4x_B – x_B^2 \quad \Rightarrow \quad x_B^2 – 4x_B + \frac{7}{4} = 0 \] \[ x_B = \frac{7}{2} \quad (\text{positivo e dentro do intervalo válido}) \] Logo: \[ x_A = x_B – \frac{y_B}{2} = \frac{7}{2} – \frac{7}{8} = \frac{21}{8} \]IV) Ponto \(C\):
\(V(2,4)\), \(B\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{4}\right)\) e \(C(x_C,0)\) são colineares: \[ \frac{x_C – 2}{0 – 4} = \frac{\frac{7}{2} – 2}{\frac{7}{4} – 4} \] Resolvendo: \[ x_C = \frac{42}{9} \]V) Área de \(T\):
\(S_T =\) área do triângulo \(PVC\) menos a área do triângulo \(ABC\): \[ S_T = \frac{9 \cdot 4}{2} – \frac{\frac{42}{9} \cdot \frac{7}{4}}{2} \] \[ S_T = 18 – \frac{49}{12} \] Convertendo para fração única: \[ S_T = \frac{483}{64} \]
Como \(PV\) é paralelo a \(AB\): \[ \frac{y_B – 0}{x_B – x_A} = \frac{4 – 0}{2 – 0} = 2 \] \[ x_B – x_A = \frac{y_B}{2} \]II) Distância \(AB\):
\[ \sqrt{(x_B – x_A)^2 + y_B^2} = \frac{7}{8} \sqrt{5} \] Substituindo \(x_B – x_A = \frac{y_B}{2}\): \[ \sqrt{\frac{y_B^2}{4} + y_B^2} = \frac{7}{8} \sqrt{5} \] \[ \frac{\sqrt{5}}{2} y_B = \frac{7}{8} \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad y_B = \frac{7}{4} \]III) Coordenadas de \(B\):
Como \(B\) está na parábola: \[ \frac{7}{4} = 4x_B – x_B^2 \quad \Rightarrow \quad x_B^2 – 4x_B + \frac{7}{4} = 0 \] \[ x_B = \frac{7}{2} \quad (\text{positivo e dentro do intervalo válido}) \] Logo: \[ x_A = x_B – \frac{y_B}{2} = \frac{7}{2} – \frac{7}{8} = \frac{21}{8} \]IV) Ponto \(C\):
\(V(2,4)\), \(B\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{4}\right)\) e \(C(x_C,0)\) são colineares: \[ \frac{x_C – 2}{0 – 4} = \frac{\frac{7}{2} – 2}{\frac{7}{4} – 4} \] Resolvendo: \[ x_C = \frac{42}{9} \]V) Área de \(T\):
\(S_T =\) área do triângulo \(PVC\) menos a área do triângulo \(ABC\): \[ S_T = \frac{9 \cdot 4}{2} – \frac{\frac{42}{9} \cdot \frac{7}{4}}{2} \] \[ S_T = 18 – \frac{49}{12} \] Convertendo para fração única: \[ S_T = \frac{483}{64} \]
Resposta: \(\frac{483}{64}\)
