ITA 2025: Questão 08 — 1ª Fase

Questão 09 – ITA 2025 – 1ª Fase

Questão 09 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Geometria Espacial • Sólidos de Revolução • Cones

Duas circunferências $C_1$ e $C_2$ de centros $O_1$ e $O_2$, respectivamente, têm raio igual a 5 cm e se interceptam nos pontos $P$ e $Q$, determinando uma corda comum $PQ$ de tamanho 6 cm. As interseções de cada circunferência com o segmento $O_1O_2$ determinam os pontos $R$ em $C_1$ e $S$ em $C_2$. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo $PO_1R$ em torno da reta $O_1Q$ é, em cm³, igual a:

👀 Solução Passo a Passo

1) Distância do centro à corda

Seja $M$ o ponto médio de $PQ$. Como $|PQ| = 6$:

$$|PM| = 3$$

No triângulo retângulo $PO_1M$, com $O_1P = 5$:

$$O_1M = \sqrt{5^2 – 3^2}$$ $$O_1M = \sqrt{25 – 9}$$ $$O_1M = 4 \ \text{cm}$$2) Posição de $R$ no segmento $O_1O_2$

Como $R$ pertence a $C_1$, $O_1R = 5$. Logo:

$$RM = O_1R – O_1M$$ $$RM = 5 – 4$$ $$RM = 1 \ \text{cm}$$3) Volume por rotação

O triângulo $PO_1R$ gera a soma de dois cones com raio de base $PM = 3$:

Um cone com altura $O_1M = 4$
Outro cone com altura $RM = 1$

$$V = \frac{1}{3} \pi (PM)^2 (O_1M) + \frac{1}{3} \pi (PM)^2 (RM)$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 + \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 1$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 + \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 1$$ $$V = 12\pi + 3\pi$$ $$V = 15\pi \ \text{cm}^3$$

Resposta: $ \boxed{15\pi} $ cm³

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.