Juros Compostos

Guia prático

Juros Compostos

Fórmulas, interpretação, equivalência de taxas, taxa real, exemplos passo a passo e exercícios resolvidos.

Conceito Fórmulas Conversões Taxa real Exemplos Erros comuns Exercícios Gabarito

Antes de começar, vale revisar: Juros simples, equivalência de taxas, fluxo de caixa e avaliação de investimentos.

O que é juros compostos?

Definição (crescimento exponencial)

A cada período, a taxa incide sobre o saldo acumulado (capital + juros já ganhos). Por isso, a evolução é exponencial, e não linear como nos juros simples.

Fórmulas essenciais

Montante, juros, inversões

\[ \boxed{M=C\,(1+i)^{n}},\qquad \boxed{J=M-C} \]

$C$: capital inicial; $M$: montante; $J$: juros; $i$: taxa por período (em decimal); $n$: nº de períodos.
Descobrir $i$: $\ i=\sqrt[n]{\tfrac{M}{C}}-1$.
Descobrir $n$: $\ n=\dfrac{\ln(M/C)}{\ln(1+i)}$.

Conversões de taxa e tempo (compostos)

Equivalência de taxas (compostas)

Mensal → Anual (efetiva): $i_{a.a.}=(1+i_{a.m.})^{12}-1$.
Anual (efetiva) → Mensal: $i_{a.m.}=(1+i_{a.a.})^{1/12}-1$.
Nominal $i^{(m)}_{a.a.}$ com capitalização $m$ vezes/ano: por período $=\dfrac{i^{(m)}_{a.a.}}{m}$;\ efetiva anual $=(1+\tfrac{i^{(m)}_{a.a.}}{m})^{m}-1$.

Precisa comparar periodicidades? Veja o guia completo em equivalência de taxas.

Tempo fracionário (dias)

Em provas, é comum a base 30/360:

$\ n\_{\text{meses}}=\dfrac{\text{dias}}{30}$,

$\ n\_{\text{anos}}=\dfrac{\text{dias}}{360}$.

Use o expoente fracionário em $M=C(1+i)^n$.

Taxa real (descontando inflação)

Fisher aproximada (composta)

\[ 1+i_{\text{real}}=\frac{1+i_{\text{nom}}}{1+\pi}\quad\Rightarrow\quad i_{\text{real}}=\frac{1+i_{\text{nom}}}{1+\pi}-1 \]

Entenda quando usar e como converter períodos em inflação e taxa real.

Exemplos passo a passo

E1. Você investe $C=$ R$ 2.000 a $i=2\%$ a.m. por $n=12$ meses. Calcule $M$ e $J$.

Ver solução
$M=2000\cdot(1+0{,}02)^{12}\approx \RS\,2.536{,}48$. $J=M-C\approx \RS\,536{,}48$. Compare com a análise de rentabilidade em avaliação de investimentos.
E2. Objetivo: transformar $C=\RS\,2{.}400$ em $M=\RS\,3{.}000$ com $i=1{,}5\%$ a.m. Em quanto tempo?

Ver solução
\[ \frac{M}{C}=\frac{3000}{2400}=1{,}25=(1+0{,}015)^{n} \ \Rightarrow\ n=\frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}015)}\approx 14{,}99\ \text{meses}\ \approx\ \boxed{15\ \text{meses}}. \]
E3. Um capital $C=\RS\,1{.}800$ atingiu $M=\RS\,2{.}268$ em $n=10$ meses. Encontre $i$ (a.m.).

Ver solução
\[ \frac{M}{C}=\frac{2268}{1800}=1{,}26=(1+i)^{10} \ \Rightarrow\ i=\sqrt[10]{1{,}26}-1\approx 0{,}02338=\boxed{2{,}338\%\ \text{a.m.}} \]
E4. Aplicação de $C=$ R$ 3.600 a $i=3\%$ a.m. por $45$ dias (base 30/360). Calcule $M$ e $J$ (compostos).

Ver solução
$n=\tfrac{45}{30}=1{,}5\ \text{mês}$. $M=3600\cdot(1{,}03)^{1{,}5}\approx \RS\,3.763{,}21$. $J\approx \RS\,163{,}21$. Em antecipações, compare com descontos compostos.
E5. Equivalência: se $i_{a.m.}=2\%$, então a taxa efetiva anual é…

Ver solução
$i_{a.a.}=(1{,}02)^{12}-1\approx 0{,}26824=26{,}824\%\ \text{a.a.}$ Veja mais em equivalência de taxas.

Erros comuns (e como evitar)

Linearizar o composto. Em compostos, nunca use $M=C(1+in)$. Use $M=C(1+i)^n$.
Período incompatível. Ajuste taxa e tempo para a mesma periodicidade (veja equivalência).
Ignorar inflação. Para comparar ganhos reais, use a taxa real.
Confundir descontos com capitalização. Antecipação de títulos usa descontos compostos, não juros compostos sobre $C$.

🧠 Exercícios propostos

Resolva e depois confira no gabarito. Se precisar, consulte equivalência de taxas, fluxo de caixa e séries de pagamentos.

1. $C=$ 1.500, $i=2\%$ a.m., $n=6$ meses (compostos). Calcule $J$ e $M$.
2. $C=$ 980, $i=4\%$ a.m., $n=3$ meses (compostos). Calcule $J$ e $M$.
3. $C=$ 2.000, $i=18\%$ a.a. efetiva, $n=150$ dias (base 360). Calcule $J$ e $M$.
4. $C=$ 3.600, $M=$ 3.996 em $n=4$ meses. Encontre $i$ (a.m.).
5. $C=$ 1.250, $M=$ 1.450, $i=2{,}5\%$ a.m. Encontre $n$ (meses).
6. $C=$ 4.500, $i=1{,}8\%$ a.m., $n=20$ dias (30/360). Calcule $J$ e $M$.
7. Taxa nominal $36\%$ a.a. com capitalização mensal. $C=$ 1.200, $n=10$ meses. Calcule $M$.
8. $M=$ 5.000 após $n=9$ meses a $i=2\%$ a.m. Determine $C$ e $J$.
9. Juros $J=$ 720 em $n=8$ meses a $i=3\%$ a.m. (compostos). Calcule $C$.
10. Pagamento adiado 50 dias: $C=$ 3.200, $i=1{,}2\%$ a.m. (compostos). Quanto de juros?
11. Em juros compostos, em quanto tempo o capital dobra a $25\%$ a.a. efetiva?
12. Se $i_{a.m.}=2{,}5\%$, calcule $i_{a.a.}$ efetiva.

📘 Gabarito (clique para ver)

Ver gabarito

$M=1500(1{,}02)^6\approx \RS\,1.689{,}24$;\ \ $J\approx \RS\,189{,}24$.
$M=980(1{,}04)^3\approx \RS\,1.102{,}37$;\ \ $J\approx \RS\,122{,}37$.
$n=150/360=0{,}416\overline{6}\ \text{ano}$. $M=2000(1{,}18)^{0{,}416\overline{6}}\approx \RS\,2.142{,}80$;\ \ $J\approx \RS\,142{,}80$.
$\tfrac{M}{C}=1{,}11=(1+i)^4\Rightarrow i=\sqrt[4]{1{,}11}-1\approx 0{,}026433=\boxed{2{,}643\%\ \text{a.m.}}$.
$n=\dfrac{\ln(1450/1250)}{\ln(1{,}025)}\approx \boxed{6{,}01\ \text{meses}}$.
$n=20/30=0{,}6\overline{6}\ \text{mês}$. $M=4500(1{,}018)^{0{,}6\overline{6}}\approx \RS\,4.553{,}84$;\ \ $J\approx \RS\,53{,}84$.
$i_{a.m.}=36\%/12=3\%$. $M=1200(1{,}03)^{10}\approx \RS\,1.612{,}70$.
$C=\dfrac{5000}{(1{,}02)^9}\approx \RS\,4.183{,}78$;\ \ $J\approx \RS\,816{,}22$.
$J=C\big[(1{,}03)^8-1\big]\Rightarrow C=\dfrac{720}{(1{,}03)^8-1}\approx \boxed{\RS\,2.698{,}95}$.
$n=50/30=1{,}6\overline{6}\ \text{meses}$. $J=3200\big[(1{,}012)^{1{,}6\overline{6}}-1\big]\approx \boxed{\RS\,64{,}26}$.
$2=(1{,}25)^n\Rightarrow n=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}25}\approx \boxed{3{,}106\ \text{anos}}\approx 3\ \text{anos},\ 1\ \text{mês e }8\ \text{dias}.$
$i_{a.a.}=(1{,}025)^{12}-1\approx \boxed{34{,}489\%\ \text{a.a.}}$.

Observação: quando trabalhamos com dias, utilizamos a convenção comercial $30/360$, salvo instrução contrária do enunciado.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.