Lei dos Cossenos: como calcular lados e ângulos em triângulos
A Lei dos Cossenos é uma das fórmulas fundamentais da trigonometria e serve para relacionar os lados e os ângulos de um triângulo qualquer. Ela é especialmente útil quando o triângulo não é retângulo, pois permite calcular lados desconhecidos e determinar medidas angulares com base em informações parciais.
Em outras palavras, a Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras. Quando o ângulo entre os lados é de 90°, o cosseno do ângulo é igual a zero, e a fórmula se reduz exatamente ao clássico \( c^2 = a^2 + b^2 \).
Fórmulas principais da Lei dos Cossenos
Para qualquer triângulo com lados \( a, b, c \) e ângulos opostos \( A, B, C \), temos:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(A) \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos(B) \]
Essas três expressões são equivalentes e podem ser aplicadas dependendo do lado e ângulo conhecidos no problema.
Quando usar a Lei dos Cossenos?
Utilize a Lei dos Cossenos quando o triângulo não é retângulo e você conhece:
- Dois lados e o ângulo formado entre eles (caso LAL);
- Ou os três lados, e deseja encontrar um dos ângulos (caso LLL).
Exemplo resolvido da Lei dos Cossenos
Problema prático
Em uma propriedade rural, a distância entre uma bomba d’água e um reservatório é de 50 m. Do reservatório até uma casa são 80 m, e o ângulo formado entre as duas direções é de 60°. Qual é a distância entre a bomba e a casa?
Resolução passo a passo
Usando a fórmula:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
👀 Mostrar solução
\[
x^2 = 50^2 + 80^2 – 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \cos(60°)
\]
\[
x^2 = 2500 + 6400 – 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot 0,5
\]
\[
x^2 = 8900 – 4000
\]
\[
x^2 = 4900
\]
\[
x = \sqrt{4900} = 70 \, \text{m}
\]
✅ A distância entre a bomba e a casa é de 70 m.
Relação com o Teorema de Pitágoras
Quando o ângulo \( C = 90° \), temos \(\cos(C) = 0\), e a fórmula se reduz a:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Portanto, a Lei dos Cossenos é uma extensão natural do Teorema de Pitágoras para triângulos oblíquos (não retângulos).
Lista de exercícios resolvidos
Questão 1
Em um triângulo, os lados medem 5 cm, 7 cm e 9 cm. Calcule o ângulo oposto ao lado de 9 cm.
👀 Ver solução
Pela Lei dos Cossenos:
\[
9^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos(C)
\]
\[
81 = 25 + 49 – 70 \cos(C)
\]
\[
81 – 74 = -70 \cos(C)
\]
\[
7 = -70 \cos(C)
\]
\[
\cos(C) = -0{,}1
\]
\[
C \approx 95{,}7°
\]
✅ O ângulo oposto ao lado de 9 cm é aproximadamente 95,7°.
Questão 2
Em um triângulo ABC, \(a = 10\), \(b = 6\) e \(C = 120°\). Calcule o lado \(c\).
👀 Ver solução
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C)
\]
\[
c^2 = 10^2 + 6^2 – 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(120°)
\]
\[
c^2 = 100 + 36 – 120 \cdot (-0{,}5)
\]
\[
c^2 = 136 + 60 = 196
\]
\[
c = 14
\]
✅ O lado \(c\) mede 14 unidades.
Conclusão
A Lei dos Cossenos é indispensável para resolver triângulos não retângulos. Ela conecta os lados e ângulos e amplia o alcance do Teorema de Pitágoras. Dominar essa lei é essencial para alunos que se preparam para o ENEM, OBMEP, vestibulares e concursos. Pratique bastante com exercícios variados e revise com nossos mapas mentais.
FAQ – dúvidas comuns sobre a Lei dos Cossenos
Quando usar a Lei dos Cossenos e não a dos Senos?
Use a Lei dos Cossenos quando tiver dois lados e o ângulo entre eles, ou quando souber os três lados e quiser descobrir um ângulo. A Lei dos Senos é mais indicada quando há proporções entre lados e ângulos opostos.
É possível aplicar a Lei dos Cossenos em triângulos retângulos?
Sim. Quando o ângulo é de 90°, o cosseno é zero e a fórmula se reduz ao Teorema de Pitágoras \(c^2 = a^2 + b^2\).
Por que a Lei dos Cossenos é importante?
Ela permite resolver triângulos oblíquos, calcular distâncias inacessíveis e tem aplicações em topografia, navegação e engenharia.
Autor: Adriano Rocha – Matemática Hoje
