Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras para qualquer triângulo \(ABC\). Relaciona um lado ao ângulo compreendido entre os outros dois e é ideal para os casos SAS (dois lados + ângulo entre eles) e SSS (três lados).

Fórmula (equações cíclicas)

\[ \begin{aligned} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ b^{2} &= a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta \\ c^{2} &= a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma \end{aligned} \]

Triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos α, β, γ; ao lado, as três fórmulas da Lei dos Cossenos — Em um triângulo \(ABC\), o lado \(a\) é oposto a \(\alpha\) (e análogo para \(b\leftrightarrow\beta\), \(c\leftrightarrow\gamma\)). Para \(\alpha=90^\circ\), \(\cos\alpha=0\) e a lei se reduz a \(a^2=b^2+c^2\).

Reforços úteis: Lei dos Senos, Área do Triângulo, Tipos de Triângulos e Razões Trigonométricas.

Quando usar

SAS: dois lados conhecidos e o ângulo compreendido ⇒ encontra-se o terceiro lado.

SSS: três lados conhecidos ⇒ calcula-se um ângulo isolando o cosseno.

Para dois lados e um ângulo não compreendido (SSA), prefira a Lei dos Senos.

Exemplos resolvidos (situação-problema)

Exemplo 1 — Encontrar um lado (SAS)

Cenário: em um palco, duas rampas metálicas com comprimentos \(b=7\) m e \(c=10\) m são montadas formando um ângulo de \(\alpha=30^\circ\) entre elas (ângulo compreendido). Pergunta: qual deve ser o comprimento da travessa que fecha o triângulo, oposta a esse ângulo? (lado \(a\)).

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\[ \begin{aligned} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ &= 7^{2}+10^{2}-2\cdot7\cdot10\cdot\cos30^\circ \\ &= 49+100-140\cdot\frac{\sqrt3}{2} \\ &= 149-121{,}243\ldots \\ &\approx 27{,}756 \\ a &= \sqrt{27{,}756} \\ &\approx \boxed{5{,}27\ \text{m}} \end{aligned} \]

Exemplo 2 — Encontrar um ângulo (SSS)

Oficina de marcenaria: uma peça triangular deve encaixar em um nicho, com lados medidos \(a=8\) cm, \(b=5\) cm e \(c=7\) cm. Pergunta: qual é o ângulo de abertura no vértice oposto a \(a\) (isto é, \(\alpha\)) para regular a serra?

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\[ \begin{aligned} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ \cos\alpha &= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\ &= \frac{25+49-64}{2\cdot5\cdot7} \\ &= \frac{10}{70} \\ &= \frac{1}{7} \\ \alpha &= \arccos\!\left(\frac{1}{7}\right) \\ &\approx \boxed{81{,}79^\circ} \end{aligned} \]

Exemplo 3 — Verificação de esquadro (classificação do ângulo)

Montagem de quadro: barras com \(b=9\) cm e \(c=12\) cm formam um triângulo cujo lado oposto mede \(a=15\) cm. Pergunta: o ângulo \(\alpha\) oposto a \(a\) é agudo, reto ou obtuso? Use a Lei dos Cossenos para confirmar o esquadro.

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\[ \begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\ &= \frac{81+144-225}{2\cdot9\cdot12} \\ &= \frac{0}{216} \\ &= 0 \\ \alpha &= \arccos(0) \\ &= \boxed{90^\circ}\;(\text{triângulo retângulo}) \end{aligned} \]

Exemplo 4 — Distância por triangulação (SAS)

Topografia de campo: a partir do ponto \(B\), mede-se a distância até \(A\) (\(b=350\) m) e até \(C\) (\(c=280\) m). O ângulo de visada entre as direções \(BA\) e \(BC\) é \(\alpha=112^\circ\) (obtuso), isto é, o ângulo compreendido. Pergunta: qual é a distância direta entre \(B\) e \(C\) (lado \(a\))?

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\[ \begin{aligned} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ &= 350^{2}+280^{2}-2\cdot350\cdot280\cdot\cos112^\circ \\ &\approx 122{,}500+78{,}400-196{,}000\cdot(-0{,}3746) \\ &\approx 200{,}900+73{,}426 \\ &\approx 274{,}326 \\ a &\approx \sqrt{274{,}326} \\ &\approx \boxed{523\ \text{m}} \end{aligned} \]

Observações úteis

Redução a Pitágoras: se \(\alpha=90^\circ\), então \(\cos\alpha=0\) e \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\).

Ângulo obtuso: \(\cos\alpha<0\) ⇒ \(a^2>b^2+c^2\) (o lado oposto é o maior).

Abordagem vetorial: o produto escalar \( \mathbf{u}\!\cdot\!\mathbf{v}=||\mathbf{u}||\,||\mathbf{v}||\cos\theta \) oferece outra demonstração elegante.