Logaritmos — guia completo com propriedades, mudança de base e exercícios
Entenda a definição formal, as condições de existência, as principais propriedades, a mudança de base e resolva questões passo a passo. Ideal para ENEM, vestibulares e concursos.
O que é um logaritmo?
O logaritmo de um número positivo \(a\) na base \(b\) (com \(b>0\) e \(b\neq 1\)) é o expoente \(x\) tal que \(b^x=a\):
Exemplo: \(\log_2 8=3\), pois \(2^3=8\).
Condições de existência
- Logaritmando: \(a > 0\).
- Base: \(b > 0\) e \(b \neq 1\).
Propriedades fundamentais
1) Produto
2) Quociente
3) Potência
4) Logaritmo de 1 e da base
Mudança de base
Exemplos resolvidos
Forma exponencial: \(x-1=3^4=81\Rightarrow x=82\).
\(x+4=2^5=32\Rightarrow x=28\).
\(\log_5(125)+\log_5(\sqrt{5})=3+\tfrac12=3{,}5\).
Igualando os logaritmandos (com \(x>0\) e \(2x-6>0\Rightarrow x>3\)): \(2x-6=x\Rightarrow x=6\).
Exercícios propostos (com solução em toggle)
📌 Ex. 1 — Calcule \(\log_2(32)\cdot \log_4(16)\)
Produto: \(5\cdot 2=10\).
📌 Ex. 2 — Resolva \(\log_3(x+6)=2\)
📌 Ex. 3 — Simplifique \(\log_a\!\left(\dfrac{a^7}{\sqrt{a}}\right)\) (com \(a>0\), \(a\neq 1\))
📌 Ex. 4 — Encontre \(x\) em \(\log_5(3x-1)=\log_5(2x+4)\)
📌 Ex. 5 — Use mudança de base: \(\log_2(50)\) (use base 10)
Aplicações dos logaritmos
- Escalas científicas: Richter (terremotos) e decibéis (som) são baseadas em logaritmos.
- Crescimento/decadência: modelos exponenciais em biologia, química e finanças.
- Algoritmos: complexidade \(O(\log n)\) em busca binária e estruturas de dados.
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Lista de Exercício: Propriedade dos Logaritmos
Resolva a Equação Logarítmica
Resolva a seguinte equação:
\[ \log_2(x + 2) = 5 \]Ver solução passo a passo
Passo 1: Reescrevemos a equação na forma exponencial:
\[ x + 2 = 2^5 \]Passo 2: Calculamos a potência:
\[ x + 2 = 32 \]Passo 3: Isolamos \(x\):
\[ x = 32 – 2 = 30 \]Resolva a Equação Logarítmica — b)
Resolva: \[\;4\log_{3}(x-40)=16\; \]
Ver solução passo a passo
Dividindo ambos os lados por 4:
\[\log_{3}(x-40)=4\]Passando para a forma exponencial:
\[x-40=3^4=81\]Isolando \(x\):
\[x=81+40=121\]Condição de existência: \(x-40>0 \Rightarrow x>40\), satisfeita por \(x=121\).
Resolva a Equação Logarítmica — d)
Resolva: \[\;2\log_{4}(x-2) + 1 = 7\;\]
Ver solução passo a passo
Subtraímos \(1\) dos dois lados:
\[2\log_{4}(x-2) = 7 – 1\] \[2\log_{4}(x-2) = 6\]Dividimos ambos os lados por \(2\):
\[\log_{4}(x-2) = 3\]Reescrevendo em forma exponencial:
\[x – 2 = 4^3 = 64\]Isolando \(x\):
\[x = 64 + 2 = 66\]Condição de existência: \(x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2\), satisfeita por \(x = 66\).
Questão 03 — Crescimento Populacional
(ESPM 2013 – Modificada) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a um pequeno povoado. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função:
\[ P = 0,2 + \log_2 t \]Onde \(P\) é a população, em milhares de habitantes, e \(t\) o número de anos após o início da ocupação. A população dessa cidade atingirá a marca de \(5,2\) mil habitantes após:
Ver solução passo a passo
Sabemos que \(P = 5,2\). Substituímos na equação:
\[ 5,2 = 0,2 + \log_2 t \]Isolando o logaritmo:
\[ \log_2 t = 5,2 – 0,2 \] \[ \log_2 t = 5 \]Reescrevendo na forma exponencial:
\[ t = 2^5 \] \[ t = 32 \]Portanto, a população atingirá \(5,2\) mil habitantes após 32 anos.
