Logaritmos

Bem-vindo a mais uma aula do nosso curso de Matemática. Esta é a segunda aula sobre Logaritmos, um tema fascinante e cheio de aplicações em ciência e tecnologia.

Relembrando a Definição

Na aula anterior vimos que:

O logaritmo é o expoente necessário para que a base \( b \) seja elevada a \( y \) e resulte em \( x \).

Propriedade do Produto e da Potência

O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos:

Além disso, quando temos uma potência no logaritmando:

Casos Especiais

• \( \log_b 1 = 0 \) (qualquer base elevada a zero resulta em 1).
• \( \log_b b = 1 \) (a base elevada a 1 é ela mesma).
• \( \log_b \frac{1}{M} = -\log_b M \).

Propriedade do Quociente

O logaritmo de uma divisão é a subtração dos logaritmos:

Expoente na Base

Se a base \( b \) está elevada a um expoente \( r \), temos:

Mudança de Base

Para qualquer número positivo \( a \) e bases \( b, c > 0 \) (e \( b, c \neq 1 \)):

O Número \( e \) e o Logaritmo Natural

O número \( e \approx 2,71828… \) é um número irracional fundamental em diversos fenômenos naturais. O logaritmo de base \( e \) é chamado de logaritmo natural e é indicado por \( \ln x \).

Aplicação – Escala Richter

A magnitude \( M \) de um terremoto é calculada por:

onde \( A \) é a amplitude das ondas sísmicas (em milímetros) e \( \Delta T \) é o intervalo entre as ondas primárias e secundárias.

Exercícios Resolvidos de Logaritmos