ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 42 — PG e Equações Algébricas
Sejam \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\ne0\), tais que \(a^2+b^2=c^2\).
Se \(a,b,c\), nessa ordem, formam uma progressão geométrica de razão \(k\),
então o produto \(P\) e a soma \(S\) de todos os possíveis valores de \(k\) são:
A) \(P=1\) e \(S=0\).
B) \(P=-1\) e \(S=1\).
C) \(P=-1\) e \(S=-1\).
D) \(P=-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) e \(S=0\).
E) \(P=\dfrac{(1+\sqrt5)^2}{4}\) e \(S=0\).
👀 Solução passo a passo
Como \(a,b,c\) estão em PG de razão \(k\), escreva
\[
b=ak,\qquad c=ak^2.
\]
Substituindo em \(a^2+b^2=c^2\),
\[
a^2+a^2k^2=a^2k^4 \ \Longrightarrow\ 1+k^2=k^4
\ \Longrightarrow\ k^4-k^2-1=0.
\]
Coloque \(y=k^2\) \((y\ge0)\):
\[
y^2-y-1=0 \ \Longrightarrow\ y=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.
\]
Como \(y\ge0\), fica \(k^2=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\).
Logo, os valores de \(k\) são
\[
k=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}.
\]
A soma \(S\) dos dois valores é \(0\) e o produto \(P\) é
\[
P=\left(+\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\right)\left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\right)
=-\frac{1+\sqrt5}{2}.
\]
Resposta: D) \(P=-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) e \(S=0\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 41 — 1ª Fase
