ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 52 — Conjuntos Numéricos
Dado \(a\in\mathbb{R}\), defina \(p=a+a^2\) e \(q=a+a^3\) e considere as afirmações:
I. Se \(p\) ou \(q\) é irracional, então \(a\) é irracional.
II. Se \(p\) e \(q\) são racionais, então \(a\) é racional.
III. Se \(q\) é irracional, então \(p\) é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S):
I. Se \(p\) ou \(q\) é irracional, então \(a\) é irracional.
II. Se \(p\) e \(q\) são racionais, então \(a\) é racional.
III. Se \(q\) é irracional, então \(p\) é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S):
A) apenas I
B) apenas II
C) apenas I e II
D) apenas I e III
E) todas
👀 Solução passo a passo
I) Se \(p\) ou \(q\) é irracional, então \(a\) é irracional — Verdadeira.
Prova por contrarrecíproca: se \(a\in\mathbb{Q}\), então \(a^2,a^3\in\mathbb{Q}\) e, logo, \(p=a+a^2\in\mathbb{Q}\) e \(q=a+a^3\in\mathbb{Q}\). Portanto, se algum dos dois (\(p\) ou \(q\)) for irracional, \(a\) não pode ser racional. ✔️
II) Se \(p\) e \(q\) são racionais, então \(a\) é racional — Verdadeira.
De \(p=a+a^2\) e \(q=a+a^3\), obtemos \[ a^2=p-a,\qquad a^3=q-a. \] Usando \(a^3=a\cdot a^2\), vem \(q-a=a(p-a)\Rightarrow q-a=ap-a^2\). Substituindo \(a^2=p-a\): \[ q-a=ap-(p-a)\ \Longrightarrow\ q-a=ap-p+a \ \Longrightarrow\ p+q= a(p+2). \] Assim, \[ \boxed{\,a=\dfrac{p+q}{p+2}\,}. \] Se \(p,q\in\mathbb{Q}\) e \(p\neq-2\), então \(a\in\mathbb{Q}\). Observação: \(p=-2\Rightarrow a^2+a+2=0\) tem discriminante negativo, logo não há \(a\in\mathbb{R}\); portanto o caso \(p=-2\) não ocorre. ✔️
III) Se \(q\) é irracional, então \(p\) é irracional — Falsa.
Contraexemplo: tome \(a=\sqrt2-\dfrac12\). Então \[ p=a+a^2=\Big(\sqrt2-\frac12\Big)+\Big(2-\sqrt2+\frac14\Big)=\frac74\in\mathbb{Q}, \] enquanto \[ a^3=(\sqrt2-\tfrac12)^3=\frac{11}{4}\sqrt2-\frac{25}{8},\qquad q=a^3+a=\frac{15}{4}\sqrt2-\frac{29}{8}\notin\mathbb{Q}. \] Logo existe \(a\) com \(q\) irracional e \(p\) racional, refutando a afirmação. ✘
Prova por contrarrecíproca: se \(a\in\mathbb{Q}\), então \(a^2,a^3\in\mathbb{Q}\) e, logo, \(p=a+a^2\in\mathbb{Q}\) e \(q=a+a^3\in\mathbb{Q}\). Portanto, se algum dos dois (\(p\) ou \(q\)) for irracional, \(a\) não pode ser racional. ✔️
II) Se \(p\) e \(q\) são racionais, então \(a\) é racional — Verdadeira.
De \(p=a+a^2\) e \(q=a+a^3\), obtemos \[ a^2=p-a,\qquad a^3=q-a. \] Usando \(a^3=a\cdot a^2\), vem \(q-a=a(p-a)\Rightarrow q-a=ap-a^2\). Substituindo \(a^2=p-a\): \[ q-a=ap-(p-a)\ \Longrightarrow\ q-a=ap-p+a \ \Longrightarrow\ p+q= a(p+2). \] Assim, \[ \boxed{\,a=\dfrac{p+q}{p+2}\,}. \] Se \(p,q\in\mathbb{Q}\) e \(p\neq-2\), então \(a\in\mathbb{Q}\). Observação: \(p=-2\Rightarrow a^2+a+2=0\) tem discriminante negativo, logo não há \(a\in\mathbb{R}\); portanto o caso \(p=-2\) não ocorre. ✔️
III) Se \(q\) é irracional, então \(p\) é irracional — Falsa.
Contraexemplo: tome \(a=\sqrt2-\dfrac12\). Então \[ p=a+a^2=\Big(\sqrt2-\frac12\Big)+\Big(2-\sqrt2+\frac14\Big)=\frac74\in\mathbb{Q}, \] enquanto \[ a^3=(\sqrt2-\tfrac12)^3=\frac{11}{4}\sqrt2-\frac{25}{8},\qquad q=a^3+a=\frac{15}{4}\sqrt2-\frac{29}{8}\notin\mathbb{Q}. \] Logo existe \(a\) com \(q\) irracional e \(p\) racional, refutando a afirmação. ✘
Resposta: C) apenas I e II.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 51
