ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 55 — Matrizes & Probabilidade
Considere o conjunto \(M(n,k)\) de todas as matrizes quadradas \(n\times n\) com exatamente \(k\) entradas iguais a \(1\) e as demais iguais a \(0\).
Escolhendo aleatoriamente matrizes \(L\in M(3,1)\) e \(R\in M(4,2)\), a probabilidade de que \(L^2=0\) e \(R^2=0\) é igual a:
A) \(\tfrac13\)
B) \(\tfrac15\)
C) \(\tfrac{4}{15}\)
D) \(\tfrac{13}{30}\)
E) \(\tfrac{29}{30}\)
👀 Solução passo a passo
Lema. Se \(A\in M(n,k)\) e \(A^2\ne 0\), então existem índices \(i,j,k\) (possivelmente iguais) tais que
\(a_{ij}=a_{jk}=1\). De fato, \((A^2)_{ik}=\sum_{j} a_{ij}a_{jk}\); se todos os produtos fossem nulos, teríamos \(A^2=0\).
Parte 1: \(L\in M(3,1)\).
Há 9 matrizes possíveis (uma posição \(1\) dentre 9). Para \(L^2\ne 0\) é necessário e suficiente que o único \(1\) esteja na diagonal principal (caso contrário, não há pares \(a_{ij}=a_{jk}=1\) com \(j\) igual). Existem 3 posições diagonais, logo \[ \Pr(L^2\ne 0)=\frac{3}{9}=\frac13 \quad\Rightarrow\quad \Pr(L^2=0)=1-\frac13=\boxed{\frac23}. \tag{1} \]Parte 2: \(R\in M(4,2)\).
Total de matrizes: \(\binom{16}{2}=120\). Contemos as com \(R^2\ne 0\) (pelo lema, existe um índice \(j\) que é coluna do primeiro 1 e linha do segundo 1). Três casos:Caso A — nenhum 1 na diagonal. Escolha a posição do primeiro 1: 12 fora da diagonal. Para produzir um produto não nulo é preciso que o segundo 1 fique no mesmo índice intermediário \(j\), o que, ao varrer todas as escolhas ordenadas, gera 36 arranjos com 6 supercontagens (pares simétricos), restando \(30\) matrizes.Caso B — exatamente um 1 na diagonal. Há \(4\) escolhas para a posição diagonal e \(12\) escolhas para o outro 1 fora da diagonal; todas geram \(R^2\ne0\): \(4\cdot 12=48\) matrizes.Caso C — dois 1 na diagonal. Qualquer par diagonal funciona: \(\binom{4}{2}=6\) matrizes.Somando: \(30+48+6=84\) matrizes com \(R^2\ne0\). Logo \[ \Pr(R^2\ne0)=\frac{84}{120}=\frac{7}{10} \quad\Rightarrow\quad \Pr(R^2=0)=1-\frac{7}{10}=\boxed{\frac{3}{10}}. \tag{2} \]Resultado final. Como as escolhas de \(L\) e \(R\) são independentes, \[ \Pr(L^2=0\ \text{e}\ R^2=0)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}=\boxed{\frac{1}{5}}. \]
Parte 1: \(L\in M(3,1)\).
Há 9 matrizes possíveis (uma posição \(1\) dentre 9). Para \(L^2\ne 0\) é necessário e suficiente que o único \(1\) esteja na diagonal principal (caso contrário, não há pares \(a_{ij}=a_{jk}=1\) com \(j\) igual). Existem 3 posições diagonais, logo \[ \Pr(L^2\ne 0)=\frac{3}{9}=\frac13 \quad\Rightarrow\quad \Pr(L^2=0)=1-\frac13=\boxed{\frac23}. \tag{1} \]Parte 2: \(R\in M(4,2)\).
Total de matrizes: \(\binom{16}{2}=120\). Contemos as com \(R^2\ne 0\) (pelo lema, existe um índice \(j\) que é coluna do primeiro 1 e linha do segundo 1). Três casos:Caso A — nenhum 1 na diagonal. Escolha a posição do primeiro 1: 12 fora da diagonal. Para produzir um produto não nulo é preciso que o segundo 1 fique no mesmo índice intermediário \(j\), o que, ao varrer todas as escolhas ordenadas, gera 36 arranjos com 6 supercontagens (pares simétricos), restando \(30\) matrizes.Caso B — exatamente um 1 na diagonal. Há \(4\) escolhas para a posição diagonal e \(12\) escolhas para o outro 1 fora da diagonal; todas geram \(R^2\ne0\): \(4\cdot 12=48\) matrizes.Caso C — dois 1 na diagonal. Qualquer par diagonal funciona: \(\binom{4}{2}=6\) matrizes.Somando: \(30+48+6=84\) matrizes com \(R^2\ne0\). Logo \[ \Pr(R^2\ne0)=\frac{84}{120}=\frac{7}{10} \quad\Rightarrow\quad \Pr(R^2=0)=1-\frac{7}{10}=\boxed{\frac{3}{10}}. \tag{2} \]Resultado final. Como as escolhas de \(L\) e \(R\) são independentes, \[ \Pr(L^2=0\ \text{e}\ R^2=0)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}=\boxed{\frac{1}{5}}. \]
Resposta: B) \(\displaystyle \frac{1}{5}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 54
