ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 55 — Matrizes & Probabilidade
Considere o conjunto (M(n,k)) de todas as matrizes quadradas (ntimes n) com exatamente (k) entradas iguais a (1) e as demais iguais a (0).
Escolhendo aleatoriamente matrizes (Lin M(3,1)) e (Rin M(4,2)), a probabilidade de que (L^2=0) e (R^2=0) é igual a:
A) (tfrac13)
B) (tfrac15)
C) (tfrac{4}{15})
D) (tfrac{13}{30})
E) (tfrac{29}{30})
👀 Solução passo a passo
Lema. Se (Ain M(n,k)) e (A^2ne 0), então existem índices (i,j,k) (possivelmente iguais) tais que
(a_{ij}=a_{jk}=1). De fato, ((A^2)_{ik}=sum_{j} a_{ij}a_{jk}); se todos os produtos fossem nulos, teríamos (A^2=0).
Parte 1: (Lin M(3,1)).
Há 9 matrizes possíveis (uma posição (1) dentre 9). Para (L^2ne 0) é necessário e suficiente que o único (1) esteja na diagonal principal (caso contrário, não há pares (a_{ij}=a_{jk}=1) com (j) igual). Existem 3 posições diagonais, logo [ Pr(L^2ne 0)=frac{3}{9}=frac13 quadRightarrowquad Pr(L^2=0)=1-frac13=boxed{frac23}. tag{1} ]Parte 2: (Rin M(4,2)).
Total de matrizes: (binom{16}{2}=120). Contemos as com (R^2ne 0) (pelo lema, existe um índice (j) que é coluna do primeiro 1 e linha do segundo 1). Três casos:Caso A — nenhum 1 na diagonal. Escolha a posição do primeiro 1: 12 fora da diagonal. Para produzir um produto não nulo é preciso que o segundo 1 fique no mesmo índice intermediário (j), o que, ao varrer todas as escolhas ordenadas, gera 36 arranjos com 6 supercontagens (pares simétricos), restando (30) matrizes.Caso B — exatamente um 1 na diagonal. Há (4) escolhas para a posição diagonal e (12) escolhas para o outro 1 fora da diagonal; todas geram (R^2ne0): (4cdot 12=48) matrizes.Caso C — dois 1 na diagonal. Qualquer par diagonal funciona: (binom{4}{2}=6) matrizes.Somando: (30+48+6=84) matrizes com (R^2ne0). Logo [ Pr(R^2ne0)=frac{84}{120}=frac{7}{10} quadRightarrowquad Pr(R^2=0)=1-frac{7}{10}=boxed{frac{3}{10}}. tag{2} ]Resultado final. Como as escolhas de (L) e (R) são independentes, [ Pr(L^2=0 text{e} R^2=0)=frac{2}{3}cdotfrac{3}{10}=boxed{frac{1}{5}}. ]
Parte 1: (Lin M(3,1)).
Há 9 matrizes possíveis (uma posição (1) dentre 9). Para (L^2ne 0) é necessário e suficiente que o único (1) esteja na diagonal principal (caso contrário, não há pares (a_{ij}=a_{jk}=1) com (j) igual). Existem 3 posições diagonais, logo [ Pr(L^2ne 0)=frac{3}{9}=frac13 quadRightarrowquad Pr(L^2=0)=1-frac13=boxed{frac23}. tag{1} ]Parte 2: (Rin M(4,2)).
Total de matrizes: (binom{16}{2}=120). Contemos as com (R^2ne 0) (pelo lema, existe um índice (j) que é coluna do primeiro 1 e linha do segundo 1). Três casos:Caso A — nenhum 1 na diagonal. Escolha a posição do primeiro 1: 12 fora da diagonal. Para produzir um produto não nulo é preciso que o segundo 1 fique no mesmo índice intermediário (j), o que, ao varrer todas as escolhas ordenadas, gera 36 arranjos com 6 supercontagens (pares simétricos), restando (30) matrizes.Caso B — exatamente um 1 na diagonal. Há (4) escolhas para a posição diagonal e (12) escolhas para o outro 1 fora da diagonal; todas geram (R^2ne0): (4cdot 12=48) matrizes.Caso C — dois 1 na diagonal. Qualquer par diagonal funciona: (binom{4}{2}=6) matrizes.Somando: (30+48+6=84) matrizes com (R^2ne0). Logo [ Pr(R^2ne0)=frac{84}{120}=frac{7}{10} quadRightarrowquad Pr(R^2=0)=1-frac{7}{10}=boxed{frac{3}{10}}. tag{2} ]Resultado final. Como as escolhas de (L) e (R) são independentes, [ Pr(L^2=0 text{e} R^2=0)=frac{2}{3}cdotfrac{3}{10}=boxed{frac{1}{5}}. ]
Resposta: B) (displaystyle frac{1}{5}).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 54
