ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 41 — Álgebra / Matrizes
Sejam \(A\) e \(B\) matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que \(A\) é simétrica e que \(B\) é
antissimétrica (isto é, \(A^T=A\) e \(B^T=-B\)). Considere as afirmações:
I. \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).
II. \(A\) comuta com qualquer matriz simétrica.
III. \(B\) comuta com qualquer matriz antissimétrica.
IV. \(\det(AB)=0\).
I. \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).
II. \(A\) comuta com qualquer matriz simétrica.
III. \(B\) comuta com qualquer matriz antissimétrica.
IV. \(\det(AB)=0\).
a) nenhuma b) apenas I c) apenas III
d) apenas IV e) apenas II e IV
👀 Solução passo a passo
I) Falsa.
\[
(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2,
\]
e, em geral, \(AB\neq BA\). Logo, não podemos substituir \(AB+BA\) por \(2AB\).
Ex.: \(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}\) (simétrica) e
\(B=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) (antissimétrica).
Aqui \(AB\neq BA\).
II) Falsa.
Matrizes simétricas não precisam comutar entre si.
\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix},\;
S=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) são simétricas e \(AS\neq SA\).
III) Falsa.
Matrizes antissimétricas não precisam comutar entre si.
\(B_1=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix},\;
B_2=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}\) são antissimétricas e \(B_1B_2\neq B_2B_1\).
IV) Verdadeira.
Para \(n\) ímpar e \(B^T=-B\),
\[
\det(B)=\det(B^T)=\det(-B)=(-1)^n\det(B)=-\det(B)\;\Rightarrow\;\det(B)=0.
\]
Como \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), conclui-se \(\det(AB)=0\).
Resposta: d) apenas IV.
