ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 45 — Triângulos / Trigonometria
Considere um triângulo \(ABC\) tal que \(m(\overline{AB})=14\), \(\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{3}{5}\) e \(\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{5}{13}\).
Então, o raio \(r\) da circunferência inscrita ao triângulo é igual a:
a) \(2\).
b) \(2\sqrt{2}\).
c) \(3\).
d) \(4\).
e) \(4\sqrt{2}\).
b) \(2\sqrt{2}\).
c) \(3\).
d) \(4\).
e) \(4\sqrt{2}\).
👀 Solução passo a passo
Pelas relações trigonométricas, para \(0^{\circ}\lt A,B \lt 180^{\circ}\):
\[
\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5},\qquad
\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13}.
\]
O terceiro ângulo é \(C=180^\circ-A-B\) e
\[
\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\sin B\cos A
=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\cdot\frac{3}{5}
=\frac{56}{65}.
\]Pela Lei dos Senos, com \(AB=14\) oposto a \(C\):
\[
\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}
\Rightarrow \frac{14}{56/65}=\frac{AC}{12/13}=\frac{BC}{4/5}=\frac{65}{4}.
\]
Logo,
\[
AC=15,\qquad BC=13,
\]
e os lados são \(13,14,15\). O semiperímetro:
\[
s=\frac{13+14+15}{2}=21.
\]
A área \(K=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac12\cdot14\cdot13\cdot\frac{12}{13}=84\).
Assim, o raio da incircunferência é
\[
r=\frac{K}{s}=\frac{84}{21}=4.
\]
Resposta: d) \(r=4\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 44 — 1ª Fase
