ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 5 — Polinômios (raízes comuns)
Determine as raízes comuns aos polinômios:
\[
p(x)=x^5+x^4-8x^2-9x+15
\]
\[
\qquad\text{e}\qquad
q(x)=3x^4+6x^3+13x^2-4x-10.
\]
👀 Solução passo a passo
A soma dos coeficientes de \(p\) é \(1+1+0-8-9+15=0\Rightarrow x=1\) é raiz de \(p\).
Como \(q(1)=3+6+13-4-10=8\neq0\), \(x=1\) não é raiz comum.
Dividindo \(p(x)\) por \((x-1)\),
\[
p(x)=(x-1)\big(x^4+2x^3+2x^2-6x-15\big).
\]
Assim, as raízes comuns devem anular o sistema
\[
\begin{cases}
x^4+2x^3+2x^2-6x-15=0,\\
3x^4+6x^3+13x^2-4x-10=0.
\end{cases}
\]
Multiplicando a 1ª equação por \(-3\) e somando à 2ª, desaparecem os termos de grau 4 e 3:
\[
\big(3x^4+6x^3+13x^2-4x-10\big)+\big(-3x^4-6x^3-6x^2+18x+45\big)
=7x^2+14x+35=0.
\]
Logo,
\[
x^2+2x+5=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\pm 2i.
\]
Esses valores satisfazem também a 1ª equação, portanto são as raízes comuns.
Resposta: \(\boxed{-1+2i\ \text{ e }\ -1-2i}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 4
