ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 51 — Geometria Espacial (Retas e Planos)
Considere as seguintes afirmações:
I. Se a medida do ângulo agudo entre uma reta \(r\) e um plano \(\alpha\) é \(45^\circ\), então existe uma reta \(s\) contida em \(\alpha\) tal que a medida do ângulo agudo entre \(r\) e \(s\) é \(30^\circ\).
II. Se uma reta \(r\) é perpendicular a duas retas distintas \(s\) e \(t\) contidas em um plano \(\alpha\), então \(r\) é perpendicular a \(\alpha\).
III. Sejam \(r,s,t\) as três retas distintas determinadas por três pontos não colineares. Então, existe um único ponto equidistante de \(r,s,t\).
IV. Se \(P\) e \(Q\) são pontos à mesma distância de um plano \(\alpha\), então o ponto médio do segmento \(PQ\) pertence a \(\alpha\).
É(são) VERDADEIRA(S):
I. Se a medida do ângulo agudo entre uma reta \(r\) e um plano \(\alpha\) é \(45^\circ\), então existe uma reta \(s\) contida em \(\alpha\) tal que a medida do ângulo agudo entre \(r\) e \(s\) é \(30^\circ\).
II. Se uma reta \(r\) é perpendicular a duas retas distintas \(s\) e \(t\) contidas em um plano \(\alpha\), então \(r\) é perpendicular a \(\alpha\).
III. Sejam \(r,s,t\) as três retas distintas determinadas por três pontos não colineares. Então, existe um único ponto equidistante de \(r,s,t\).
IV. Se \(P\) e \(Q\) são pontos à mesma distância de um plano \(\alpha\), então o ponto médio do segmento \(PQ\) pertence a \(\alpha\).
É(são) VERDADEIRA(S):
a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III.
d) apenas III e IV. e) apenas II e III.
👀 Solução passo a passo
I) Falsa.
Para uma reta \(r\) não perpendicular ao plano \(\alpha\), o ângulo entre \(r\) e \(\alpha\) é o
ângulo entre \(r\) e sua projeção ortogonal \(r’\) sobre \(\alpha\); ele é o menor ângulo que \(r\) faz
com qualquer reta de \(\alpha\). Logo, se esse ângulo mínimo é \(45^\circ\), não existe reta de \(\alpha\)
fazendo \(30^\circ\) com \(r\).
II) Falsa. O enunciado correto exigiria que \(r\) fosse perpendicular a duas retas concorrentes de \(\alpha\). Sem isso, pode-se tomar \(s\parallel t\) em \(\alpha\) e uma reta \(r\parallel\alpha\) perpendicular a ambas, mas não perpendicular ao plano \(\alpha\).
III) Falsa. As retas \(r,s,t\) determinadas por três pontos não colineares são coplanares. O conjunto dos pontos equidistantes de uma reta é um plano perpendicular ao plano dessas retas (ou um cilindro de diretriz a reta, no espaço). Intersectando os três lugares geométricos, obtêm-se, em geral, infinitas soluções (por exemplo, quatro retas perpendiculares ao plano das três retas, passando por pontos notáveis). Logo, não há unicidade.
IV) Falsa. Se \(P\) e \(Q\) estão num plano \(\beta\) paralelo a \(\alpha\) e à mesma distância \(d\) de \(\alpha\), o ponto médio de \(PQ\) pertence a \(\beta\), e não a \(\alpha\).
II) Falsa. O enunciado correto exigiria que \(r\) fosse perpendicular a duas retas concorrentes de \(\alpha\). Sem isso, pode-se tomar \(s\parallel t\) em \(\alpha\) e uma reta \(r\parallel\alpha\) perpendicular a ambas, mas não perpendicular ao plano \(\alpha\).
III) Falsa. As retas \(r,s,t\) determinadas por três pontos não colineares são coplanares. O conjunto dos pontos equidistantes de uma reta é um plano perpendicular ao plano dessas retas (ou um cilindro de diretriz a reta, no espaço). Intersectando os três lugares geométricos, obtêm-se, em geral, infinitas soluções (por exemplo, quatro retas perpendiculares ao plano das três retas, passando por pontos notáveis). Logo, não há unicidade.
IV) Falsa. Se \(P\) e \(Q\) estão num plano \(\beta\) paralelo a \(\alpha\) e à mesma distância \(d\) de \(\alpha\), o ponto médio de \(PQ\) pertence a \(\beta\), e não a \(\alpha\).
Resposta: a) nenhuma.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 50 — 1ª Fase
