Matemática ITA 2021: Questão 8 — 2ª Fase

Denote por \(R\) o raio da esfera circunscrita e por \(r\) o raio da esfera inscrita. Seja \(\ell\) a aresta da base. No quadrado da base, o raio da circunferência circunscrita é \[ \rho=\frac{\ell\sqrt2}{2}. \] Como os centros das esferas coincidem e estão sobre o eixo de simetria da pirâmide, no corte meridiano (plano que contém o eixo e uma diagonal da base) obtemos dois triângulos retângulos:1) Relação pitagórica. A distância do centro comum \(O\) a um vértice da base é \(R\), enquanto a projeção horizontal é \(\rho\) e a vertical é \(r\). Assim, \[ R^{2}=r^{2}+\rho^{2}=r^{2}+\frac{\ell^{2}}{2}. \tag{A} \]2) Semelhança no corte meridiano. Seja \(T\) o ponto de tangência da esfera inscrita com uma face lateral; o triângulo \(VTO\) é retângulo com catetos \(VT\) e \(r\). O triângulo formado pelo ápice \(V\), o centro \(O\) e o ponto médio \(H\) do lado da base também é retângulo, com catetos \(R+r\) e \(\ell/2\). Esses triângulos são semelhantes (mesma inclinação da face e ambos com um ângulo reto), logo \[ \frac{VT}{R+r}=\frac{r}{\ell/2}. \tag{B} \] Como o segmento \(VT\) projeta-se exatamente no raio da circunferência circunscrita da base, \(VT=\rho=\dfrac{\ell\sqrt2}{2}\). Substituindo em (B), \[ \frac{\ell\sqrt2/2}{R+r}=\frac{r}{\ell/2} \quad\Longrightarrow\quad r\,(R+r)=\frac{\ell^{2}\sqrt2}{4}. \tag{C} \]3) Eliminando \(\ell\) e encontrando \(R/r\). De (A), \(R^{2}-r^{2}=\dfrac{\ell^{2}}{2}\). Dividindo (A)–(sem o \(r^{2}\)) por (C), \[ \frac{R^{2}-r^{2}}{\,r(R+r)\,}=\frac{\dfrac{\ell^{2}}{2}}{\dfrac{\ell^{2}\sqrt2}{4}} =\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2. \] Como \(\dfrac{R^{2}-r^{2}}{r(R+r)}=\dfrac{(R-r)(R+r)}{r(R+r)}=\dfrac{R}{r}-1\), obtemos \[ \frac{R}{r}-1=\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{r}=1+\sqrt2. \]4) Razão entre as áreas. As áreas são proporcionais aos quadrados dos raios; assim, \[ \frac{A_{\text{circ}}}{A_{\text{insc}}}=\left(\frac{R}{r}\right)^{2}=(1+\sqrt2)^{2}=3+2\sqrt2. \]