ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 1 — Álgebra (Polinômios e Perímetro)
Seja \(x\in\mathbb{R}\). Considere um retângulo \(R\) com lados
\[
a=9x^{2}-5x^{4}\quad\text{e}\quad b=8x-8x^{3}.
\]
Sabendo que o perímetro de \(R\) é \(8\), determine os valores de \(a\) e \(b\).
👀 Solução passo a passo
Como \(P=2a+2b=8\), então \(a+b=4\). Logo,
\[
9x^{2}-5x^{4}+8x-8x^{3}=4
\;\;\Longleftrightarrow\;\;
5x^{4}+8x^{3}-9x^{2}-8x+4=0.
\]
Fatorizando,
\[
5x^{4}+8x^{3}-9x^{2}-8x+4=(x^{2}-1)(5x^{2}+8x-4)=0.
\]
Assim, \(x\in\{1,-1\}\) ou \(5x^{2}+8x-4=0\).
• Para \(x=1\) ou \(x=-1\): \(b=8x-8x^{3}=8x(1-x^{2})=0\). Como um lado do retângulo não pode ser nulo, esses valores são descartados.
• Resolvendo \(5x^{2}+8x-4=0\): \[ x=\frac{-8\pm\sqrt{64+80}}{10}=\frac{-8\pm12}{10}\;\Rightarrow\;x=\frac{2}{5}\;\text{ou}\;x=-2. \] Se \(x=-2\), então \(a=9x^{2}-5x^{4}=36-80<0\) (absurdo). Portanto, \(x=\dfrac{2}{5}\).
Calculando os lados: \[ a=9\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-5\left(\frac{2}{5}\right)^{4} =9\cdot\frac{4}{25}-5\cdot\frac{16}{625} =\frac{900-80}{625} =\frac{164}{125}, \] \[ b=8\left(\frac{2}{5}\right)-8\left(\frac{2}{5}\right)^{3} =\frac{16}{5}-8\cdot\frac{8}{125} =\frac{400-64}{125} =\frac{336}{125}. \] Verificação: \(a+b=\dfrac{164+336}{125}=\dfrac{500}{125}=4\), logo \(2(a+b)=8\).
• Para \(x=1\) ou \(x=-1\): \(b=8x-8x^{3}=8x(1-x^{2})=0\). Como um lado do retângulo não pode ser nulo, esses valores são descartados.
• Resolvendo \(5x^{2}+8x-4=0\): \[ x=\frac{-8\pm\sqrt{64+80}}{10}=\frac{-8\pm12}{10}\;\Rightarrow\;x=\frac{2}{5}\;\text{ou}\;x=-2. \] Se \(x=-2\), então \(a=9x^{2}-5x^{4}=36-80<0\) (absurdo). Portanto, \(x=\dfrac{2}{5}\).
Calculando os lados: \[ a=9\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-5\left(\frac{2}{5}\right)^{4} =9\cdot\frac{4}{25}-5\cdot\frac{16}{625} =\frac{900-80}{625} =\frac{164}{125}, \] \[ b=8\left(\frac{2}{5}\right)-8\left(\frac{2}{5}\right)^{3} =\frac{16}{5}-8\cdot\frac{8}{125} =\frac{400-64}{125} =\frac{336}{125}. \] Verificação: \(a+b=\dfrac{164+336}{125}=\dfrac{500}{125}=4\), logo \(2(a+b)=8\).
Resposta final: \(\displaystyle a=\frac{164}{125}\) e \(\displaystyle b=\frac{336}{125}\).
