ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 10 — Geometria Espacial (Octaedro ⟷ Cubo)
Considere um octaedro regular de aresta \(l_1\).
Inscreva nesse octaedro um cubo cujos vértices estão nos baricentros das faces do octaedro.
Dentro desse cubo inscreva um novo octaedro regular de aresta \(l_2\) cujos vértices estão nos
centros das faces do cubo. Continue esse processo e obtenha a sequência \(l_i\) \((i\in\mathbb{N})\).
Determine o valor da razão \(\displaystyle \frac{l_{10}}{l_1}\).
👀 Solução passo a passo
Denote por \(x\) a aresta do octaedro e por \(a\) a aresta do cubo quando o
octaedro está inscrito no cubo (vértices nos centros das faces do cubo).
Nesse caso, a metade da diagonal do cubo é a distância do centro ao centro de uma face,
igual ao raio do quadrado que contém a face do octaedro. Resulta a relação clássica:
\[
\frac{x}{a}=\frac{\sqrt2}{2}. \tag{1}
\]
Agora considere o cubo inscrito no octaedro (vértices nos baricentros das faces do octaedro).
A diagonal espacial do cubo (\(a\sqrt3\)) coincide com a distância entre faces opostas do octaedro,
que é \(\dfrac{x\sqrt6}{3}\). Logo,
\[
a\sqrt3=\frac{x\sqrt6}{3}\quad\Rightarrow\quad
\frac{a}{x}=\frac{\sqrt2}{3}. \tag{2}
\]No processo do enunciado, partimos de um octaedro de aresta \(l_k\), inscrevemos um cubo de aresta
\(c\) usando (2) e depois um novo octaedro de aresta \(l_{k+1}\) usando (1):
\[
c=l_k\cdot\frac{\sqrt2}{3},\qquad
l_{k+1}=c\cdot\frac{\sqrt2}{2}=l_k\cdot\frac{\sqrt2}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=l_k\cdot\frac{1}{3}.
\]
Portanto, a sequência é geométrica com razão \(\dfrac{1}{3}\):
\[
l_{k+1}=\frac{1}{3}\,l_k.
\]
Assim,
\[
\frac{l_{10}}{l_1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{9}.
\]
Resposta final: \(\displaystyle \frac{l_{10}}{l_1}=\frac{1}{3^{9}}\).
