ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 52 — Probabilidade • Geometria Espacial
Seja \(A\) o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo \(C\).
Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de \(A\), a probabilidade de essas retas se
interceptarem em um vértice de \(C\) é:
a) \( \dfrac{4}{9} \)
b) \( \dfrac{1}{2} \)
c) \( \dfrac{2}{3} \)
d) \( \dfrac{1}{14} \)
e) \( \dfrac{3}{7} \)
👀 Solução passo a passo
1) Contagem total de retas de \(A\):
Uma reta é determinada por um par não ordenado de vértices distintos do cubo (8 vértices). Logo, \[ |A|=\binom{8}{2}=28. \] 2) Fixe uma reta \( \overline{PQ}\in A \): quantas retas de \(A\) se interceptam com ela em um vértice?
Há \(6\) retas passando por \(P\) (com outro vértice diferente de \(Q\)) e \(6\) retas passando por \(Q\) (com outro vértice diferente de \(P\)). Assim, \(12\) das \(27\) retas restantes interceptam \( \overline{PQ}\) em um dos seus vértices. 3) Probabilidade pedida:
\[ \mathbb{P}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}. \]
Uma reta é determinada por um par não ordenado de vértices distintos do cubo (8 vértices). Logo, \[ |A|=\binom{8}{2}=28. \] 2) Fixe uma reta \( \overline{PQ}\in A \): quantas retas de \(A\) se interceptam com ela em um vértice?
Há \(6\) retas passando por \(P\) (com outro vértice diferente de \(Q\)) e \(6\) retas passando por \(Q\) (com outro vértice diferente de \(P\)). Assim, \(12\) das \(27\) retas restantes interceptam \( \overline{PQ}\) em um dos seus vértices. 3) Probabilidade pedida:
\[ \mathbb{P}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}. \]
Resposta: a) \( \displaystyle \frac{4}{9} \)
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