ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 55 — Triângulos e Circunferência
Seja \(T\) um triângulo de vértices \(A,B,C\) com \(m(\overline{AB})=2\sqrt5\) e \(m(\overline{BC})=6\).
Sabendo que \(\widehat{ABC}\) é agudo e \(T\) é inscritível em uma circunferência de raio \(R=5\),
podemos afirmar que \(m(\overline{AC})\) é:
a) \(\dfrac{\sqrt5}{5}\)
b) \(\dfrac{2\sqrt5}{5}\)
c) \(\dfrac{4\sqrt5}{5}\)
d) \(\dfrac{8\sqrt5}{5}\)
e) \(\dfrac{14\sqrt5}{5}\)
👀 Solução passo a passo
Pelo Teorema do Seno com raio circunscrito \(R\), tem-se
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=10,
\]
onde \(a=BC=6\), \(b=CA\), \(c=AB=2\sqrt5\).1) Ângulos \(A\) e \(C\):
\[ \sin A=\frac{a}{2R}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\qquad \sin C=\frac{c}{2R}=\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{5}. \] Como \(\widehat{ABC}\) é agudo e o triângulo é inscritível, o diagrama compatível é \(A\) obtuso e \(C\) agudo: \[ \cos A=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5},\qquad \cos C= \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt5}{5}. \]2) Seno de \(B\) via identidade \(\sin(A+C)=\sin A\cos C+\sin C\cos A\):
\[ \sin B=\sin(180^\circ-(A+C))=\sin(A+C) =\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt5}{5}+\frac{\sqrt5}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) =\frac{2\sqrt5}{25}. \]3) Comprimento \(AC\):
\[ AC=b=2R\sin B=10\cdot\frac{2\sqrt5}{25}=\frac{4\sqrt5}{5}. \]
\[ \sin A=\frac{a}{2R}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\qquad \sin C=\frac{c}{2R}=\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{5}. \] Como \(\widehat{ABC}\) é agudo e o triângulo é inscritível, o diagrama compatível é \(A\) obtuso e \(C\) agudo: \[ \cos A=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5},\qquad \cos C= \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt5}{5}. \]2) Seno de \(B\) via identidade \(\sin(A+C)=\sin A\cos C+\sin C\cos A\):
\[ \sin B=\sin(180^\circ-(A+C))=\sin(A+C) =\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt5}{5}+\frac{\sqrt5}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) =\frac{2\sqrt5}{25}. \]3) Comprimento \(AC\):
\[ AC=b=2R\sin B=10\cdot\frac{2\sqrt5}{25}=\frac{4\sqrt5}{5}. \]
Resposta: c) \(\displaystyle \frac{4\sqrt5}{5}\)
