Números Algébricos — Definição, Propriedades, Exemplos e Exercícios

Atualizado em 22 de agosto de 2025 • Leitura: ~13 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

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O que são números algébricos?

Números algébricos são todos os números reais ou complexos que são soluções de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros e de grau ≥ 1:

\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,\quad a_i\in\mathbb{Z},\ a_n\neq 0. \]

Em outras palavras, um número \( \alpha \) é algébrico se existe um polinômio \(P(x)\) com coeficientes inteiros tal que \(P(\alpha)=0\).

Relação com polinômios

Todo número algébrico está diretamente relacionado à teoria dos polinômios. Por exemplo, \(\sqrt{2}\) é algébrico porque resolve \(x^2-2=0\). Já \(1+i\) também é algébrico, pois satisfaz \(x^2-2x+2=0\).

Exemplos clássicos de números algébricos

\(2\) resolve \(x-2=0\) ⇒ algébrico.
\(\sqrt{5}\) resolve \(x^2-5=0\) ⇒ algébrico.
\(\dfrac{3}{7}\) resolve \(7x-3=0\) ⇒ algébrico.
\(\omega=e^{2\pi i/3}\) resolve \(x^3-1=0\) ⇒ algébrico.

Diferença entre números algébricos e transcendentais

Transcendentais são números que não são raízes de nenhum polinômio com coeficientes inteiros.

\[ \pi,\ e\ \not\in\ \{\text{algébricos}\} \]

Assim, temos:

Algébricos: \(\sqrt{2}\), \(1/3\), \(i\), \(2\).
Transcendentais: \(\pi\), \(e\).

Principais propriedades

O conjunto dos números algébricos é contável.
Todos os números racionais são algébricos.
Nem todos os números irracionais são transcendentais: muitos são algébricos.
Operações entre algébricos nem sempre resultam em algébricos: depende do contexto.

Aplicações em matemática

Teoria dos corpos e extensões algébricas.
Estudo de raízes de polinômios.
Classificação de números complexos e reais.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Prove que \(\sqrt{7}\) é algébrico

Solução

\(\sqrt{7}\) satisfaz a equação \(x^2-7=0\) com coeficientes inteiros, logo é algébrico.

Exemplo 2 — Verifique se \(\pi\) é algébrico

Solução

\(\pi\) não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros ⇒ é transcendental.

Exercícios propostos

Mostre que \(\dfrac{5}{9}\) é algébrico.
Determine uma equação polinomial satisfeita por \(\sqrt[3]{4}\).
Classifique \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{3}\) e \(\dfrac{7}{5}\) como algébricos ou transcendentais.
Prove que \(1+i\) é algébrico.
Os números racionais pertencem ao conjunto dos números algébricos? Justifique.

Gabarito

1) \(5/9\) resolve \(9x-5=0\) ⇒ algébrico.
2) Equação: \(x^3-4=0\).
3) \(\pi\): transcendental; \(e\): transcendental; \(\sqrt{3}\): algébrico; \(7/5\): algébrico.
4) \(1+i\) resolve \(x^2-2x+2=0\) ⇒ algébrico.
5) Sim, pois todos os racionais são raízes de polinômios lineares do tipo \(qx-p=0\).