OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 20
Enunciado:
Uma competição de matemática consiste de uma prova com três problemas. Cada aluno pode obter nota 0, 1 ou 2 em cada problema. Após a correção das provas, constatou-se que não existiam dois alunos com notas iguais nos mesmos dois problemas. Qual é o número máximo de alunos que podem ter participado da competição?
(A) 8
(B) 12
(C) 6
(D) 16
(E) 9
Ver Solução
Entendendo o enunciado: Queremos o número máximo de alunos tal que nenhum par de alunos tenha as mesmas notas nos mesmos dois problemas.
Raciocínio:
Cada problema admite três notas: 0, 1 ou 2. Analisando os dois primeiros problemas, existem:
\( 3 \times 3 = 9 \) combinações possíveis de notas nesses dois problemas.
Se mais de 9 alunos participarem, então, pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos dois deles terão o mesmo par de notas nos dois primeiros problemas — o que contradiz a condição dada.
Logo, o máximo de alunos possíveis é 9.
Segue uma tabela que mostra uma possível configuração para os 9 alunos, sem repetição de pares:
| Aluno | Nota P1 | Nota P2 | Nota P3 |
|---|---|---|---|
| Aluno 1 | 0 | 0 | 0 |
| Aluno 2 | 0 | 1 | 1 |
| Aluno 3 | 0 | 2 | 2 |
| Aluno 4 | 1 | 0 | 0 |
| Aluno 5 | 1 | 1 | 2 |
| Aluno 6 | 1 | 2 | 1 |
| Aluno 7 | 2 | 0 | 1 |
| Aluno 8 | 2 | 1 | 0 |
| Aluno 9 | 2 | 2 | 1 |
Resposta correta: (E) 9
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