Questão 03. A figura ao lado é formada por quadrados e triângulos. O lado do quadrado vermelho mede 2 cm. Os demais quadrados e triângulos têm lados paralelos a um dos lados ou a uma das diagonais do quadrado vermelho.
a) Qual é a área da região amarela?
b) Qual é a área da região branca?
c) Qual é a área da região cinza?
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🔎 Entendendo o enunciado:
Vamos decompor a figura em regiões menores usando uma malha quadriculada baseada nos lados e diagonais do quadrado vermelho. Essa malha facilita a contagem e o cálculo das áreas.
1) Item a) – Área da região amarela:
O quadrado vermelho tem lado 2 cm, então sua área é:
$$ 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 $$
Ao redor dele há 4 quadrados (um em cada lado), e cada um foi dividido em 4 triângulos iguais. Entre esses, 1 é amarelo.
Logo, a área de cada triângulo amarelo é:
$$ \frac{1}{4} \times 4 = 1 \text{ cm}^2 $$
Como temos 4 triângulos amarelos:
$$ 4 \times 1 = 4 \text{ cm}^2 $$
✅ Conclusão do item a):
- A área da região amarela é 4 cm².
2) Item b) – Área da região branca:
Há dois tipos de triângulos brancos:
- 4 pequenos, com área igual à dos amarelos: $$ 1 \text{ cm}^2 $$
- 2 grandes, equivalentes à metade do quadrado vermelho: $$ \frac{1}{2} \times 4 = 2 \text{ cm}^2 $$
Soma das áreas:
$$ 4 \times 1 + 2 \times 2 = 4 + 4 = 8 \text{ cm}^2 $$
✅ Conclusão do item b):
- A área da região branca é 8 cm².
3) Item c) – Área da região cinza:
A região cinza é formada por:
- 4 quadrados verdes, cada um com área igual à do quadrado vermelho: $$ 4 \text{ cm}^2 $$
- 12 triângulos azuis, com área igual à dos triângulos amarelos: $$ 1 \text{ cm}^2 $$
Soma das áreas:
$$ 4 \times 4 + 12 \times 1 = 16 + 12 = 28 \text{ cm}^2 $$
Por fim, somamos os triângulos cinzas (2 deles), com área igual à metade do quadrado vermelho:
$$ 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 $$
Total:
$$ 28 + 4 + 8 = 40 \text{ cm}^2 $$
✅ Conclusão do item c):
- A área da região cinza é 40 cm².
