OBMEP 2024 – Segunda Fase – Nível 1 – Questão 4 Resolvida Passo a Passo

🔎 Entendendo o enunciado:

Os números precisam ter divisores comuns (maior que 1) quando estão conectados, e todos devem ser distintos. O desafio é preencher respeitando essa condição e minimizando o maior número usado, especialmente no item c).

1) Item a) – Preenchimento possível:

Um exemplo válido é:

7, 10, 70, 21, 6, 9

Todos os pares conectados têm um divisor comum maior que 1. Por exemplo:

• 10 e 70 têm divisor comum 10
• 70 e 21 têm divisor comum 7
• 6 e 9 têm divisor comum 3

✅ Conclusão do item a):

• O preenchimento respeita todas as condições de divisibilidade.

2) Item b) – Preenchimento com maior número igual a 12:

Exemplo de preenchimento:

5, 3, 6, 12, 9, 4, 8

Todos os pares conectados têm divisores comuns maiores que 1, e o maior número utilizado é 12.

✅ Conclusão do item b):

• O preenchimento é possível com o maior número sendo exatamente 12.

3) Item c) – Por que não é possível preencher com números menores que 12:

Se o maior número for menor que 12, os números disponíveis se restringem a 1 até 11. No entanto:

• O número 1 nunca pode ser usado (não tem divisor comum com nenhum outro além de 1).
• Números primos pequenos, como 7 e 11, não são bons candidatos pois seus múltiplos estão acima de 11.
• Com 8 círculos a preencher e restrições de ligação, é impossível selecionar 8 números distintos todos com divisores comuns com seus vizinhos.

Portanto, abaixo de 12 não é possível montar um diagrama completo e válido.

✅ Conclusão do item c):

• Não há como preencher os círculos de forma válida com todos os números menores que 12.