Operações com Números Racionais — Guia Completo com Exemplos Resolvidos
O que são números racionais
Os números racionais pertencem ao conjunto \(\mathbb{Q}\) e são todos aqueles que podem ser representados na forma de fração:
Isso significa que todo número que pode ser expresso como quociente entre dois inteiros é um número racional. Exemplos:
\(\frac{3}{4}\)
\(-\frac{7}{2}\)
0,5
-2
Já os números que não podem ser escritos como fração pertencem aos números irracionais.
Operações fundamentais com números racionais
As operações com números racionais envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão. Elas podem ser feitas tanto com frações quanto com números decimais.
Para revisar operações gerais, veja também Operações Numéricas.
Frações e decimais
Os números racionais podem aparecer em três formatos principais:
- Frações próprias: numerador menor que o denominador, ex.: \(\frac{3}{5}\).
- Frações impróprias: numerador maior que o denominador, ex.: \(\frac{9}{4}\).
- Decimais exatos ou periódicos: \(\frac{1}{4}=0,25\) e \(\frac{1}{3}=0,333…\).
Propriedades das operações
Com os racionais, as operações seguem estas características:
➕ Adição e Subtração
- Para somar/subtrair com o mesmo denominador: some/subtraia os numeradores.
- Para denominadores diferentes: faça o mmc, transforme as frações equivalentes e some/subtraia.
✖ Multiplicação
- Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador.
- Exemplo: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\).
➗ Divisão
- Multiplica-se pela fração inversa.
- Exemplo: \(\frac{2}{5}\div\frac{3}{10}=\frac{2}{5}\cdot\frac{10}{3}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}\).
Exemplos práticos resolvidos
Exemplo 1 — Soma de frações
Calcule: \(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\)
- Mínimo múltiplo comum de \(4\) e \(6\): \(12\).
- Transforme: \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\), \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\).
- Soma: \(\frac{9+10}{12}=\frac{19}{12}\).
Exemplo 2 — Subtração de decimais
Calcule: \(7,25-4,8\)
- Alinhe as casas decimais.
- Resultado: \(2,45\).
Exemplo 3 — Multiplicação
Calcule: \(\frac{7}{8}\cdot\frac{3}{5}\)
- \(7\cdot3=21\).
- \(8\cdot5=40\).
- Resultado: \(\frac{21}{40}\).
Exemplo 4 — Divisão
Calcule: \(\frac{5}{12}\div\frac{2}{3}\)
- Inverta o divisor: \(\frac{2}{3}\to\frac{3}{2}\).
- \(\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\).
Frações e números decimais
Os números racionais podem ser representados por frações ou por decimais. Entender ambos os formatos é essencial para dominar as operações:
- Frações próprias: numerador menor que o denominador, ex.: \(\frac{3}{7}\).
- Frações impróprias: numerador maior que o denominador, ex.: \(\frac{8}{3}\).
- Decimais exatos: \(\frac{1}{4} = 0,25\).
- Decimais periódicos: \(\frac{1}{3} = 0,333…\).
Operações com números decimais
Os números decimais são uma forma alternativa de representar os racionais. Vamos ver como realizar as operações fundamentais:
➕ Adição de decimais
Alinhe as vírgulas e some normalmente:
➖ Subtração de decimais
Alinhe as vírgulas e subtraia, completando com zeros quando necessário:
✖ Multiplicação de decimais
- Ignore temporariamente as vírgulas e multiplique normalmente.
- Conte o número total de casas decimais dos fatores e ajuste no resultado.
➗ Divisão de decimais
- Transforme o divisor em um número inteiro, multiplicando ambos os termos por 10, 100, etc.
- Divida normalmente.
Exercícios propostos
- \(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\)
- \(\frac{3}{10}-\frac{1}{5}\)
- \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{7}\)
- \(\frac{2}{5}\div\frac{6}{25}\)
Gabarito
1) \(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}=\frac{20}{24}+\frac{21}{24}=\frac{41}{24}\).
3) \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{7}=\frac{12}{63}=\frac{4}{21}\).
4) \(\frac{2}{5}\div\frac{6}{25}=\frac{2}{5}\cdot\frac{25}{6}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}\).
Exercícios propostos
- Calcule \(3,75 + 4,8\)
- Resolva \(15,2 – 7,35\)
- Resolva \(2,5 × 1,2\)
- Resolva \(9,6 ÷ 0,8\)
Gabarito
1) \(3,75 + 4,8 = 8,55\)
3) \(2,5 × 1,2 = 3,0\)
4) \(9,6 ÷ 0,8 = 12\)